FICHE MÉTHODE : DÉTERMINER UNE PRIMITIVE
Dans toute cette fiche, si ¦ est une fonction, on notera F l'une de ses primitives. La lettre c désignera une constante.
On rappelle que F est une primitive de ¦ sur un intervalle I si : F'(x) = ¦(x) pour tout x Î I.
On rappelle également qu'une primitive de ¦ + kg (k Î ) est F + kG. (Linéarité)

Cas des fonctions polynômes
Une seule formule à connaître :

si ¦(x) = x n alors F(x) =

x n+1
+c
n +1

(x Î  et n Î )

Exemple 1 :
Déterminer une primitive F de la fonction ¦ définie, sur , par : ¦(x) = 3 x 3 - 4 x 2 + 7x - 1
SOLUTION :
F(x) = 3 ´

x4 x3 x2
3 4 4 3 7 2 x x + x -x+c
-4´
+7´
-x+c=
4
4
3
2
2
3

Cas des fonctions usuelles
Une lecture "réciproque" des formules de dérivation des fonctions usuelles est suffisante pour déterminer une primitive. Rappelons ces formules :
¢
1 æ 1ö ç ÷ =- 2 è xø x ( x )' =

(ln x)' =

(Condition : x ¹ 0)

1

(Condition : x > 0)

( e x )' = e x

(Condition : x > 0)

2 x

1 x Exemple 2 :
Déterminer une primitive F de la fonction ¦ définie, pour x Î ]0 ; +¥[, par : ¦(x) =

3
5
- 2 + 6 ex x x

SOLUTION :
F(x) = 5 ´ ln x + 3 ´

1
3
+ 6 e x + c = 5ln x + + 6 e x + c x x

La notion de primitive n'est valable que sur un intervalle. Même si l'ensemble de définition d'une fonction ¦ est *, on ne cherche ses primitives que sur un intervalle (ici
]0 ; +¥[)

Cas des fonctions composées
Une bonne connaissance des formules de dérivation est, en générale, suffisante pour déterminer une primitive.
On rappelle ces formules : (valables lorsque u est une fonction dérivable)
(ln u)' =

u' u (Condition : u > 0)

Une primitive de

u¢ est donc ln u u e u = u' e u

Une primitive de u' e u est donc e u

( u n )' = n u' u n -1 (Conditions : u > 0 ou n Î )

Une primitive de u' u est donc

( u )' =

u¢
2 u

n

(Condition : u > 0)

Une primitive de

u n+1 n +1

u¢ est donc 2 u
u