Probabilité

Pages: 9 (2116 mots) Publié le: 20 août 2013
CHAPITRE 3 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES

1 Rappels sur les probabilités et conditionnement
1. Rappels sur l’équiprobabilité
G Le

résultat d’une expérience aléatoire est une issue ou une éventualité. L’ensemble de ces issues est E. événement est une partie de E. événement A et B sont disjoints ou incompatibles si A B ≠ ∅ et A B = ∅. B = E. On

G Un G Les G Les

événements A et B sontcontraires si A note B = A .

G L’univers E est probabilisé si à chaque événement élémentaire {x} on associe un nombre p i ∈ [ 0 ; 1 ] par une application p qui satisfait à

p ( E ) = 1 et

Conséquences :

∑p

i

= 1.

si A ⊂ E, la probabilité de A notée p ( A ) est telle que p ( A ) = p ( A ) = 1 – p ( A ) donc p ( ∅ ) = 0. Si A B = ∅, alors p ( A B ) = p ( A ou B ) = p ( A ) + p ( B). Si A ⊂ E et B ⊂ E, p ( A B ) = p ( A ) + p ( B ) – p ( A B ).
G Univers

xi ∈ A

∑P .
i

équiprobable : ensemble E dont tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Si l’ensemble E contient N éléments, alors : 1 p 1 = p 2 = … = p N = --- . N Si A ⊂ E et si A contient n éventualités, alors : nombre de cas favorables à la réalisation de A n p ( A ) = --- =------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ . nombre de cas possibles N

2. Probabilités conditionnelles
Soit une expérience aléatoire et deux événements A et B de l’univers probabilisé par cette expérience. Si p ( B ) ≠ 0, la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé p(A B) s’écrit p B ( A ) ou p ( A/B ) et esttelle que p B ( A ) = ----------------------- . p(B)
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Remarque : comme A B = B A, alors p ( A B ) = p B ( A ) × p ( B ) = p A ( B ) × p ( A ) ( p ( A ) ≠ 0 et p ( B ) ≠ 0 ). p B ( A ) = 1 – p ( A ).

3. Formule des probabilités totales
{ B 1, B 2, …, B i, …, B n } est une partition de E si :  ∀i ∈ , 1 i n , B i ≠ ∅   ∀i ∈ , ∀j ∈ , i ≠ j ,B i B j = ∅   B1 B2 … Bi … Bn = E . Si { B 1, …, B n } est une partition de E et si p ( B i ) est non nul pour tout i, alors : p ( A ) = p B1 ( A ) × p ( B 1 ) + p B2 ( A ) × p ( B 2 ) + … + p Bn ( A ) × p ( B n ) p(A) = p(A B1 ) + p ( A B2 ) + … + p ( A B n ).

exemple d’application
On tire une carte d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité que la carte soit un carreau sachant quec’est une carte rouge qui a été tirée. 1 Soit A l’événement « tirer une carte rouge » : p ( A ) = -- . 2 Soit B l’événement « tirer un carreau ». 1 8 A B = B car B ⊂ A d’où P ( A B ) = P ( B ) = ------ = -- . 4 32 1 -P(A B) 1 1 4 Donc P A ( B ) = ----------------------- = -- = -- soit P A ( B ) = -- . 2 1 2 P(A) -2 Sachant que la carte tirée est rouge, il y a une chance sur deux que ce soit uncarreau.

corrigé commenté

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CHAPITRE 3 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES

2 Indépendance et modélisation
1. Indépendance de deux événements
Deux événements A et B sont indépendants si, et seulement si, p ( A B ) = p ( A ) × p ( B ). Conséquence : p A ( B ) = p ( B ) et p B ( A ) = p ( A ).

2. Modélisation
Définitions : Une loi de probabilité, ou distribution de probabilité, est une fonctionP qui à tout événement A associe un nombre p ( A ), sa probabilité appartenant à l’intervalle [0 ; 1]. Modéliser une expérience aléatoire c’est lui associer une loi de probabilité.

3. Liens entre statistiques et probabilités
• Une fréquence calculée à partir de données expérimentales est empirique, mais la probabilité d’un événement est un nombre théorique. Les distributions de fréquencesissues de la répétition d’expériences identiques ou indépendantes fluctuent, alors que la loi de probabilité est un invariant associé à l’expérience. • Si on choisit n éléments indépendamment les uns des autres selon une loi de probabilité P, alors la distribution des fréquences est voisine de P pour n grand. • Si des expériences sont répétées de façons identiques et indépendantes et si p est la...
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