CHAPITRE 3 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES

1 Rappels sur les probabilités et conditionnement
1. Rappels sur l’équiprobabilité
G Le

résultat d’une expérience aléatoire est une issue ou une éventualité. L’ensemble de ces issues est E. événement est une partie de E. événement A et B sont disjoints ou incompatibles si A B ≠ ∅ et A B = ∅. B = E. On

G Un G Les G Les

événements A et B sont contraires si A note B = A .

G L’univers E est probabilisé si à chaque événement élémentaire {x} on associe un nombre p i ∈ [ 0 ; 1 ] par une application p qui satisfait à

p ( E ) = 1 et

Conséquences :

∑p

i

= 1.

si A ⊂ E, la probabilité de A notée p ( A ) est telle que p ( A ) = p ( A ) = 1 – p ( A ) donc p ( ∅ ) = 0. Si A B = ∅, alors p ( A B ) = p ( A ou B ) = p ( A ) + p ( B ). Si A ⊂ E et B ⊂ E, p ( A B ) = p ( A ) + p ( B ) – p ( A B ).
G Univers

xi ∈ A

∑P . i équiprobable : ensemble E dont tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Si l’ensemble E contient N éléments, alors : 1 p 1 = p 2 = … = p N = --- . N Si A ⊂ E et si A contient n éventualités, alors : nombre de cas favorables à la réalisation de A n p ( A ) = --- = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ . nombre de cas possibles N

2. Probabilités conditionnelles
Soit une expérience aléatoire et deux événements A et B de l’univers probabilisé par cette expérience. Si p ( B ) ≠ 0, la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé p(A B) s’écrit p B ( A ) ou p ( A/B ) et est telle que p B ( A ) = ----------------------- . p(B)
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cours

savoir-faire

exercices

corrigés

Remarque : comme A B = B A, alors p ( A B ) = p B ( A ) × p ( B ) = p A ( B ) × p ( A ) ( p ( A ) ≠ 0 et p ( B ) ≠ 0 ). p B ( A ) = 1 – p ( A ).

3. Formule des probabilités totales
{ B 1, B 2, …, B i, …, B n } est une partition de E si :  ∀i ∈ , 1 i n , B i ≠ ∅   ∀i ∈ , ∀j ∈ , i ≠ j ,