probabilite

Pages: 7 (1665 mots) Publié le: 14 février 2014
Corrigé des exercices

Analyse combinatoire :
Série n°1 :
Exercice 1 :
E = {a, b, c, d }
Disposition de deux éléments de E ordonnées sans répétition :
(a, b) ;(a, c) ; (a, d) ;(b, a) ; (b, c) ;(b, d) ;(c, a) ;(c, b) ;(c, d) ;(d, a) ;
(d, b) ;(d, c)
n1 = 12
Disposition de deux éléments de E ordonnées avec répétition :
n1 + (a, a)+(b, b)+(c, c)
n2 = 16
Disposition de deux éléments de Enon ordonnées sans répétition :

{a, b};{a, c};{a, d };{b, c};{b, d };{c, d }
n3 = 6

Disposition de deux éléments de E non ordonnées avec répétition :

n3 + {a, a}; {b, b}; {c, c}
n4 = 10

Comparaison : n2 > n1 > n4 > n3
Exercice 2 :
a- E = {a1 , a2 ,L, an } On montre que :
Pn = n!
P = {Permutation} = {(a1 , a2 ,L, an ) / a1 ∈ E , a2 ∈ E − {a1}, a3 ∈ E − {a1 , a2 }L an ∈ E − {a1 ,a2 ,L, an −1}}

on pose : E = En

E − {a1} = En −1

E − {a1 , a2 } = En − 2
M
E − {a1 , a2 ,L, an −1} = E1

d ' ou : P = {(a1 , a2 ,L, an ) / a1 ∈ En , a2 ∈ En −1 , a3 ∈ En − 2 L an ∈ E1}
P = En × En −1 × En − 2 × L × E1

Card P = Card (En × En −1 × En − 2 × L × E1 )
= Card En × Card En −1 × Card En − 2 × L × Card E

= n(n − 1)(n − 2 ) × L × 2 × 1 = n!
0 ! = nombre de permutationde 0 élément de E.
n = 0 : E = Φ ⇒ P = {(Φ )}
Card P = 1
b – vérifions que :

Pn − Pn −1 = (n − 1)Pn −1

Corrigé des exercices
on a : Pn = n!⇒ Pn −1 = (n − 1)!

Pn − Pn −1 = n(n − 1)!−(n − 1)!= (n − 1)!(n − 1) = (n − 1) Pn −1

d ' ou : Pn − Pn −1 = (n − 1) Pn −1

on a : Pn − Pn −1 = (n − 1) Pn −1
/

Pn −1 − Pn − 2 = (n − 2 ) Pn − 2
/
/
M

P2 − P = Pn
/
/1

Pn − P = P + 2P2 + L + (n − 1)Pn −1
1
1
n −1

= ∑ iPi
i =1

n −1

en déduire que : Pn = 1 + ∑ iPi
i =1

Exercice 4 :
Le nombre de manière dont 5 personnes peuvent s’asseoir à une
table :
En U :
5!
Ronde :
4!
Exercice 5 :
On lance un dé 3 fois successives :
Résultats = (n1 , n2 , n3 )
ni =numéro obtenu au ième lancé.
=disposition ordonnée sans répétition de 3 parmi 6.
=arrangement sansrépétition de 3 parmi 6.
6! 6 × 5 × 4 × 3!
3
= A6 = =
= 120
3!
3!
Exercice 6 :
a- Résoudre :
4
2
An = 90 An − 2

(n − 2)!
n!
= 90
(n − 4)!
(n − 4)!
n!= 90 (n − 2 )!
n!
= 90
(n − 2)!
n(n − 1) = 90
n 2 − n = 90

1 − 36
1 + 36
; n2 =
2
2
Donc la solution de l’équation est : n2 =10
n1 =

S ={ }
10

Corrigé des exercices

Série n°2 :
Exercice 1 :
aLe nombre debureaux quelconques =nombre d’arrangement sans
3
répétition de 3 parmi 10= A10 = 720
bLe nombre de bureaux composés uniquement de femmes :
4!
3
n1 = A4 = = 24
1!
cLe nombre de bureaux composés des deux sexes :
Soit n2 le nombre de bureaux composés uniquement des hommes :
6!
3
n2 = A6 = = 120
3!
Soit X le nombre de bureaux composés des deux sexes :
X = N − (n1 + n2 ) = 576
Autreméthode :
1
2
2
1
3 A4 × A6 + 3 A4 × A6 = 3 × 4 × 30 × 3 × 12 × 6 = 576

(

) (

)

Exercice 2 :
Un bureau = {P , P2 , P3 } =disposition non ordonnée sans répétition
1
aLe nombre de bureaux quelconques =combinaison sans répétition de 3
10!
3
parmi 10 = C 10 =
= 120
3!(10 − 3)!
Exercice 3 :
an

∑C
i =0

i
n

= 2n
n

2n = (1 + 1) = ∑ C n(1) (1)
n

i =0

b-

i

in −i

n

= ∑ Cn
i =0

i

Corrigé des exercices

∑ (−1)i C
n

i

i =0

n

=0
n

0 = (1 − 1) = (1 + (− 1)) = ∑ C n(1) (− 1)
n

i

i −1

i

i =0
n

= ∑ C n(− 1) (1)
i

i

i −1

i =0
n

= ∑ (− 1) C n
i

i

i =0

Exercice 4 :
On démontre :

on a :
et
donc :

C

p
n

p −1

= C n −1 + C n −1
p

(n − 1)!
( p − 1)!(n − p )!
(n −1)!
p
C n −1 = p!(n − p − 1)!
(n − 1)!
(n − 1)!
p −1
p
C n −1 + C n −1 = ( p − 1)!(n − p )! + p!(n − p − 1)!
 1
(n − 1)!
1
=
×
+ 
( p − 1)!(n − p − 1)!  n − p p 


(n − 1)!
p+n− p
=

( p − 1)!(n − p − 1)! (n − p ) p

C

p −1

n −1

=

=

n!
p !(n − p )!

= Cn

p

Corrigé des exercices

Série n°3 :
Exercice 1 :
Disposition non ordonné avec...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • probabilité
  • probabilités
  • Probabilités
  • Probabilités
  • probabilité
  • Probabilités
  • Probabilites
  • Probabilité

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !