Corrigé des exercices

Analyse combinatoire :
Série n°1 :
Exercice 1 :
E = {a, b, c, d }
Disposition de deux éléments de E ordonnées sans répétition :
(a, b) ;(a, c) ; (a, d) ;(b, a) ; (b, c) ;(b, d) ;(c, a) ;(c, b) ;(c, d) ;(d, a) ;
(d, b) ;(d, c) n1 = 12
Disposition de deux éléments de E ordonnées avec répétition : n1 + (a, a)+(b, b)+(c, c) n2 = 16
Disposition de deux éléments de E non ordonnées sans répétition :

{a, b};{a, c};{a, d };{b, c};{b, d };{c, d } n3 = 6

Disposition de deux éléments de E non ordonnées avec répétition :

n3 + {a, a}; {b, b}; {c, c} n4 = 10

Comparaison : n2 > n1 > n4 > n3
Exercice 2 : a- E = {a1 , a2 ,L, an } On montre que :
Pn = n!
P = {Permutation} = {(a1 , a2 ,L, an ) / a1 ∈ E , a2 ∈ E − {a1}, a3 ∈ E − {a1 , a2 }L an ∈ E − {a1 , a2 ,L, an −1}}

on pose : E = En

E − {a1} = En −1

E − {a1 , a2 } = En − 2
M
E − {a1 , a2 ,L, an −1} = E1

d ' ou : P = {(a1 , a2 ,L, an ) / a1 ∈ En , a2 ∈ En −1 , a3 ∈ En − 2 L an ∈ E1}
P = En × En −1 × En − 2 × L × E1

Card P = Card (En × En −1 × En − 2 × L × E1 )
= Card En × Card En −1 × Card En − 2 × L × Card E

= n(n − 1)(n − 2 ) × L × 2 × 1 = n!
0 ! = nombre de permutation de 0 élément de E. n = 0 : E = Φ ⇒ P = {(Φ )}
Card P = 1 b – vérifions que :

Pn − Pn −1 = (n − 1)Pn −1

Corrigé des exercices on a : Pn = n!⇒ Pn −1 = (n − 1)!

Pn − Pn −1 = n(n − 1)!−(n − 1)!= (n − 1)!(n − 1) = (n − 1) Pn −1

d ' ou : Pn − Pn −1 = (n − 1) Pn −1

on a : Pn − Pn −1 = (n − 1) Pn −1
/

Pn −1 − Pn − 2 = (n − 2 ) Pn − 2
/
/
M

P2 − P = Pn
/
/1

Pn − P = P + 2 P2 + L + (n − 1)Pn −1
1
1 n −1

= ∑ iPi i =1

n −1

en déduire que : Pn = 1 + ∑ iPi i =1

Exercice 4 :
Le nombre de manière dont 5 personnes peuvent s’asseoir à une table :
En U :
5!
Ronde :
4!
Exercice 5 :
On lance un dé 3 fois successives :
Résultats = (n1 , n2 , n3 ) ni =numéro obtenu au ième lancé.
=disposition ordonnée sans répétition de 3 parmi 6.
=arrangement sans