1

Chapitre 2 : DERIVEES ET DEVELOPPEMENTS LIMITES Notion de d´riv´es et de diff´rentielle e e e D´riv´e d’une fonction en un point xo e e ´ Definition 0.1. Soit f : I −→ R, I un intervalle ouvert de R, soit xo ∈ I. On dit que f est d´rivable en xo si : e f (x)−f (xo ) lim existe dans R. On la note f (xo ) . x−xo x−→xo Interpr´tation g´om´trique e e e xo x Soient Mo et M f (xo ) f (x) f (x)−f (xo ) cˆt´ oppos´ oe e MH tgα = cˆt´ adjacent = x−xo = x−xo oe Quitte ` faire une translation on peut a toujours supposer que α ∈ − π , π 2 2 (x tgα = f (x)−f o o ) x−x

avec x = x0

(x =⇒ α = Arctg f (x)−f o o ) x−x α est fonction de x. Si f est d´rivable en xo e f (x) − f (xo ) − − − x− − → f (xo ). −→ xo x−xo Donc α −→ αo = Arctg f (xo ) et αo ∈ − π , π 2 2 On dit que la droite (Mo M ) = ∆ de pente tgα ”tend” vers une droite T de pente tgαo = f (xo )

(T ) : y − f (xo ) = f (xo ) × (x − xo ) Th¨ 2 or¨ 2 me 0.2. : (Caract´risation) ı¿ 1 ı¿ 1 e Soit f : I −→ R, xo ∈ I, alors les 2 assertions suivantes sont ´quivalentes : e (i) f est d´rivable en xo e (ii) ∃a ∈ R, ∃ε : U −→ R, U voisinage de 0 avec lim ε(h) = 0 et h−→0 tel que xo + h ∈ I et f (xo + h) = f (xo ) + ah + hε(h) s’il en est ainsi alors a = f (xo ).
1. UCAD, Facult´ des Sciences Economiques et de Gestion (FASEG), Ann´e : e e 2010-2011, Premi`re ann´e Cours de Math´matiques, Diaraf SECK version 0.1 e e e
1

2

Application Calcul de limites Soit f d´rivable en xo alors : e (x · Si f (xo ) = 0 on a : f (x)−f o o ) xo f (xo) x−x · Si f (xo ) = 0 on a : f (x) − f (xo ) = θ(x − xo ) quand x −→ xo . Corollaire 0.3. Soit f : I −→ R xo ∈ I, I intervalle ouvert. Si f est d´rivable en xo alors f continue en xo . e Extension de la notion de d´riv´e e e (1) D´riv´e a droite et a gauche : e e ` ` · On dit que ∈ R est la d´riv´e ` droite de f en xo si et e e a seulement f (x) − f (xo ) = x−→xo x − xo x>xo lim ou lim + f (x) − f (xo ) = x − xo

x−→xo

On note = fd (xo ). · Par d´finition, la d´riv´e a