Terminale S3

DS de Mathématiques n° 2

8 Octobre 2010

Durée : 4 heures

Exercice 1 (7 ou 8 points)
4e x
.
ex 3
On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) d'unité graphique 2 cm.
Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x)

1. Comportement asymptotique.
a. Déterminer les limites de f en

x 2

et en

b. Démontrer que la droite D 1 d'équation y

. x 2 est asymptote à la courbe C en

.

c. Étudier la position de C par rapport à D 1 .
d. Etudier lim f ( x) x x 2

. Quelle interprétation graphique peut-on en déduire ?

2. Etude d’une fonction auxiliaire.
On considère la fonction g définie sur par g ( x) e x 3 .
a. Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.
b. Montrer que l’équation g ( x) 0 admet une solution unique sur IR.
-3
c. Donner un encadrement de à 10 .
3. Etude des variations de f.
a. On note f la fonction dérivée de f . Calculer f ( x) et montrer que, pour tout réel x , on a : f ( x)

ex 3 ex 3

2

b. Étudier les variations de f sur IR et dresser le tableau de variations de la fonction f .
4. Positions de C et D2
a. Que peut-on dire de la tangente D 2 à la courbe C au point I d'abscisse

?

b. En utilisant les variations de la fonction f , étudier la position de la courbe C par rapport à D 2 .
5. Positions de C et D3
a. Montrer que la tangente D 3 à la courbe C au point d'abscisse 0 a pour équation : y
b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la tangente D 3 sur l'intervalle ]
;
On pourra utiliser la dérivée seconde de f notée f définie pour tout x de IR par :

f "( x)

12e x e x 3 ex 3

3

1 x 1.
4
] .

.

6. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe C .
Tracer la courbe C , les tangentes D2 , D3 et les asymptotes à la courbe C . On rappelle que l'unité graphique choisie est 2 cm.

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Exercice 2 (5 points)

Partie A
1. Déterminer le complexe