CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

TD 07 Formes quadratiques
K = R ou C. E un K-espace vectoriel normé. Exercice 1: Soit q : E → E. 1: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(−x) = q(x) et (x, y) → q(x + y) − q(x) − q(y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas pour dire que q ∈ Q(E). 2: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(0) = 0 et (x, y) → q(x + y) − q(x − y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas pour dire que q ∈ Q(E). Exercice 2: Vérifier s’il sagit bien d’une forme quadratique : 1) E = Mn (R), S ∈ Sn (R), q(A) = tr(SAtA) 2)E = R3 , u, v ∈ E = R3 , q(x) = [x, u, v ∧ x] 3) f, g ∈ E ∗ , q(x) = f (x)g(x) 4)E = Rn [X], q(P ) = P (0)P (1)P (2) 5) E = Rn [X], q(P ) = P (0)P (0) R1 6)E = Rn [X], q(P ) = |P (0)P (1)| 7) E = C[0, 1]), q(f ) = 0 f 2 Exercice 3: Soit q ∈ Q(E). Montrer que ∀x, y, z ∈ E, q(x + y + z) = q(x + y) + q(y + z) + q(z + x) − q(x) − q(y) − q(z). −→ − 1 Exercice 4: Soit q ∈ Q(Rn ) de forme polaire ϕ. Montrer que ∀x, y ∈ Rn , ϕ(x, y) = 2 < gradq(x), y > où < ., . > désigne le produit scalaire usuel sur Rn . Exercice 5: Donner dans chaque cas la matrice, la forme polaire associée, la décomposition en carrés, le rang, la dégénérescence, la signature et la positivité des formes quadratiques suivantes : 1) q(x, y) = 2x2 − 4xy + 5y 2 2) q(x, y, z, t) = xy + yz + zt + tx 3) q(x, y, z) = x2 − 2y 2 + xz + yz 4) q(x, y, z) = 2x2 − y 2 + 2xy − 2xz + 6yz 5) q(x, y, z, t) = xz + xt + yz + yt 6) q(x, y, z) = (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 7) q(x, y, z) = x2 + 2y 2 + 4xy + 4xz + 2yz. Exercice 6: Vérifier que q(P ) = P (0)P (1) est une forme quadratique sur R2 [X]. Donner sa forme polaire, sa matrice dans la base canonique de R2 [X]. Est-elle non dégénérée ? Positive ? Trouver une base dans laquelle la matrice de q est diagonale. Exercice 7: Soit, dans R3 [X], la forme quadratique q(P ) = P 2 (0) + P 2 (1) + P 2 (2) + P 2 (3). Trouver sa signature et une base de R3