Reponse du chapitre 1 algebre lineaire et geometrie vectorielle

18961 mots 76 pages
ÉXERCICES 1.1

1.

(b) Non linéaire en raison du terme x1x3.
–2 (d) Non linéaire en raison du terme x1 .

(e) Non linéaire en raison du terme x3/5. 1

6.

(b) Substituant les expressions représentant x et y en fonction de t dans l’équation x = 5 + 2y révèle t = 5 + 2 

1
2

t −

5 2

 = 5 + t − 5 = t

Puisque cette équation est valide pour tout t, la solution proposée est en effet la solution générale. Il est également possible de définir x = t et d’en d’isoler la variable y, 5 1 t – ce qui donne y = 2 2 7. Puisque les trois points donnés doivent satisfaire à l’équation de la courbe, nous obtenons le système d’équations suivant : ax2 + bx1 + c = y1 1 ax2 + bx2 + c = y2 2 ax2 + bx3 + c = y3 3 Ce système d’équations ayant les variables a, b, et c, peut être traduit sous forme de matrice augmentée, qui correspondra bel et bien à celui présenté dans l’exercice. 8. Si le système est cohérent, nous pouvons soustraire les deux premières equations de la dernière, par exemple. Le résultat obtenu sera alors c – a – b = 0 ou c = a + b. Le système ne peut être cohérent que si cette condition est respectée.

1

2

Éxercices 1.1

9.

La solution générale de l’équation x1 + kx2 = c est x1 = c – kt, x2 = t òu t est un nombre réel quelconque. Si celles-ci satisfont à x1 + x2 = d, alors c – kt + t = d, ou ( – k)t = d – c pour tout t. En particulier, si t = 0, alors d = c, est si t = 1, alors = k.

11.

Si x – y = 3, alors 2x – 2y = 6. Ainsi, les équations seront cohérentes si et seulement si k = 6; c’est-à-dire, il n’y a pas de solution si k ≠ 6. Si k = 6, les équations représentent alors la même droite. Dans ce cas, il y aura une infinité de solutions. Puisque nous avons couvert toutes les possibilités, il n’y a donc aucune façon d’avoir une solution unique.

12.

(a) Si le système d’équations est incohérent, il y alors trois possibilités: les droites se coupent (i) en 3 points distincts, (ii) en 2 points distinct, ou (iii) en aucun

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