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Pages: 35 (8670 mots) Publié le: 3 janvier 2015
IX- Suites numériques
Quand on parle d’une suite, il s’agit d’une succession de nombres. Une suite
représente en général l’évolution d’une quantité, par exemple une population, ou bien un
capital, au fil du temps, année après année, ou seconde par seconde, … On remplace
l’évolution continue par une succession de photos prises à intervalles réguliers.

Définition
Une suite, notée (un) avecn ∈N, est une succession infinie de nombres un indexés
(numérotés) par un nombre n qui est un entier naturel, soit u0, u1, u2, u3, …
En général le terme initial est u0, mais la suite peut parfois commencer par u1 , ou
par u2 , selon les circonstances.

Comment se donne-t-on une suite ?
Le plus souvent,
Une suite est définie
• par une relation de récurrence de la forme un+1 = fonction de un, c’est-àdire un terme est connu à partir de celui qui le précède)
• et par le terme initial u0.
Par exemple prenons la suite (un) donnée par la relation de récurrence un+1 = 2un, et
par u0=1/2. On peut alors calculer les termes successifs de proche en proche à partir de
u0=1/2 : u1=1, u2=2, u3=4, u4=8, … Notons qu’une suite ainsi définie par sa relation de
récurrence et son terme initialest unique. Par contre, si l’on se donne seulement la
relation de récurrence sans préciser le terme initial, il va exister une infinité de suites,
selon le point de départ que l’on prend.
Remarque : la relation de récurrence peut être plus complexe, un terme pouvant
dépendre non seulement de celui qui le précède mais de plusieurs termes qui le
précèdent.
Par exemple, prenons la suite dite deFibonacci, définie par la relation de
récurrence : un+2 = un+1 + un , avec comme conditions initiales u0=0, et u1=1. A partir
de ces deux premiers termes, on peut calculer de proche en proche les termes suivants,
soit u2 = u1 + u0 = 1 + 0 = 1 , u3 = u2 + u1 = 1 + 1 = 2 , …, et l’on obtient la succession
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. Notons qu’il est obligatoire dans le casprésent de se donner deux termes au départ, un seul ne pouvant suffire pour avoir une
suite unique.

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Problème d’existence
Une suite indexée par un entier naturel est formée d’un nombre infini de termes.
Mais il peut arriver qu’en calculant les termes successifs à partir de u0, on tombe sur un
terme qui n’existe plus. Dans ce cas, on dira que la suite n’est pas définie : elle n’existepas, puisqu’elle n’a pas l’infinité de termes requise.
Exemple : soit la suite définie par u0 = 1 et un+1 = un - 1/un. Cette suite est-elle
définie ? Pour cela, calculons : u1=1-1=0 , d’où u2 n’existe pas à cause de la division
1/0. La suite n’est pas définie.

Forme explicite d’une suite
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Une suite peut aussi être connue avec un comme fonction de n. Par exemple un = n ,
ce qui donneu0=1, u1=1, u2=4, u3=8, u4=16, etc. Dans ce cas, chaque terme est obtenu
directement, sans avoir besoin de faire des calculs successifs en utilisant la relation de
récurrence. Ce genre de formule donnant un par rapport à n est appelé la forme explicite
de la suite. Dans de nombreux problèmes, il s’agira de passer de la définition d’une suite
par sa relation de récurrence et ses conditionsinitiales, à sa forme explicite.

Evolution d’une suite
Dans certains cas, la suite présente une évolution particulièrement simple. Cela
arrive dans les cas suivants :
• Une suite est constante si un = u0 quel que soit n. Cela s’exprime aussi bien de la
façon suivante : un+1= un quel que soit n entier naturel.
• Une suite est croissante lorsque un augmente lorsque n augmente. Cela s’exprimeainsi : un+1 - un ≥ 0 quel que soit n. De même une suite est décroissante lorsque
un+1 - un ≤ 0 quel que soit n.

Comportement d’une suite à l’infini, ou nature d’une suite
On dit qu’une suite converge lorsqu’elle tend vers une limite L (finie) lorsque n tend
vers l’infini.
On dit qu’une suite diverge lorsqu’elle ne converge pas. Ainsi une suite diverge si un
devient infini, ou encore si...
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