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IX- Suites numériquesQuand on parle d’une suite, il s’agit d’une succession de nombres. Une suite représente en général l’évolution d’une quantité, par exemple une population, ou bien un capital, au fil du temps, année après année, ou seconde par seconde, … On remplace l’évolution continue par une succession de photos prises à intervalles réguliers.
Définition
Une suite, notée (un) avec n ∈N, est une succession infinie de nombres un indexés
(numérotés) par un nombre n qui est un entier naturel, soit u0, u1, u2, u3, …
En général le terme initial est u0, mais la suite peut parfois commencer par u1 , ou par u2 , selon les circonstances.
Comment se donne-t-on une suite ?
Le plus souvent,
Une suite est définie
• par une relation de récurrence de la forme un+1 = fonction de un , c’est-àdire un terme est connu à partir de celui qui le précède)
• et par le terme initial u0.
Par exemple prenons la suite (un) donnée par la relation de récurrence un+1 = 2un, et par u0=1/2. On peut alors calculer les termes successifs de proche en proche à partir de u0=1/2 : u1=1, u2=2, u3=4, u4=8, … Notons qu’une suite ainsi définie par sa relation de récurrence et son terme initial est unique. Par contre, si l’on se donne seulement la relation de récurrence sans préciser le terme initial, il va exister une infinité de suites, selon le point de départ que l’on prend.
Remarque : la relation de récurrence peut être plus complexe, un terme pouvant dépendre non seulement de celui qui le précède mais de plusieurs termes qui le précèdent. Par exemple, prenons la suite dite de Fibonacci, définie par la relation de récurrence : un+2 = un+1 + un , avec comme conditions initiales u0=0, et u1=1. A partir de ces deux premiers termes, on peut calculer de proche en proche les termes suivants, soit u2 = u1 + u0 = 1 + 0 = 1 , u3 = u2 + u1 = 1 + 1 = 2 , …, et l’on obtient la succession
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. Notons qu’il est obligatoire dans le cas