ATSM
Association Tunisienne des Sciences Mathématiques

Forum du bac Math
Thème : Intégrales

Sousse : 22-23 Mars 2010

Exercice 1:

Cocher la réponse exacte. 1. D’après la représentation graphique ci-contre, l’aire de la 2 partie limitée par la courbe de f , l’axe des abscisses et les 1 droites d’équations x = −1 et x = 3 est : 3 8. 5,33.
0

um
-1

2. D’après la représentation graphique ci-contre, l’intégrale I =
3 0

f (x) dx est : I >0
1

I 0

x

1 dt , alors ∀x ∈]0, 1[, on a : 1+ t4 f (x) < 0

7. La valeur moyenne de la fonction t −→ t 9 sur [−1, 1] est : 2 1 10 10 Exercice 2: π Soit I =

0

e x sin x dx et J =

π 0

e x cos x dx.

1. Démontrer que I = −J puis J = I − 1 − e π . Intégrales 1/3 4M

Bac
2 1 #» j −2 −1 O −1
1 0 -1 -2

#» 1 i
1 #» j

2

3

−1 O −1
-1

#» 1 i 2

3

−2 π . 4

0

1

2

3

2.

2π 0

cos3 t sin5 t dt .

f (x) = 0. 0.

Forum du Bac

4M

2. En déduire les valeurs de I et J . 3. Calculer K = Exercice 3: 1.
0

(a) Déterminer les réels a et b , tels que ∀x ∈ R \ {3} on a :
2

(b) Calculer I =

1

(x − 3)2

x −2

dx
Log 2 0 π

2. Calculer les intégrales suivantes J = Exercice 4: Pour tout entier naturel n, on pose I n =
0

e 2x − 2e x (e x − 3)
2

ex cos(nx) dx.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, cos(nπ) = (−1)n et que sin(nπ) = 0. 2. A l’aide de deux intégrations par parties, montrer que : I n = 3. Montrer que, pour tout entier naturel |I n | Exercice 5: π 4

um
1 + n2 eπ + 1 dx
0

On pose, pour tout entier naturel n : I n = 1. (a) Justifier l’existence de I n .

cos2n+1 x

(b) Montrer que pour tout n ∈ N∗ : I n − I n−1 = J n . En déduire le sens de variation de la suite (I n )n∈N . π a cos x b cos x 1 = + . En déduire le calcul de I 0 . : 4 cos x 1 + sin x 1 − sin x 2n − (2n − 1)J n . 3. (a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que I n = 2 1 1 1 (On pourra remarquer que = × ). 2n+1 x 2x 2n−1 x cos