Séries entières

Pages: 5 (1193 mots) Publié le: 22 septembre 2010
Séries entières

1 Dénitions
Dénition d'une série entière :
Sit

(an )

une suite de nombres complexes, la

série entière

de la variable

complexe z associée à la suite notée :

(an )

est la série de fonction de

C

dans

C

an z n

Lemme :
Soit

une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombrecomplexe z, an z n = O(| zz0 |n )

an z n

Théorème : lemme d'Abel
Soit

an z n

une série entière et

z0

un nombre complexe non nul. Si la suite

n (an z0 )

est bornée, alors pour tout nombre complexe z tel que série numérique an z n est absolument convergente.

|z| < |z0 |,

la

Dénition du rayon de convergence : R

Etant donné une série entière an z n , on note A l'ensembledes réels positifs n r tels que la suite (an r ) soit bornée. On dénit de la série entière an z n par :

le rayon de convergence

R = sup A = sup{r ∈ R+ , (an rn )n∈N born´e} e

Théorème :
Soit

an z n

une série entière de rayon de convergence R.

• •

Pour tout complexe z vériant Pour tout complexe z vériant

|z| < R, |z| > R,

la série numérique la série numérique

an zn an z n

est est

absolument convergente. grossièrement divergente.

Théorème :
Soit

an z n

une série de rayon de convergence R. Alors :

R = sup{r ∈ R+ , (an rn ) converge vers 0}

1

Dénition du disque de convergence :
Soit

an z n

une série entière de rayon de convergence R. Dans le plan com-

plexe, on appelle

disque de convergence de la série entière ledisque ouvert
{z ∈ C, |z| < R}

de centre O, de rayon R :

2 Calcul du rayon de convergence
Théorème :
Soit

an z n

une série entière.

• •

Si la série numérique Si la série numérique

convergence R est tel que convergence R est tel que

n an z0 converge pour un certain z0 , |z0 | ≤ R n an z1 diverge pour un certain z1 , R ≤ |z1 |.

le rayon de le rayon de

Règle d'Alembertpour les séries entières :
Soit

an z n

une série entière vériant les hypothèses suivantes :

• •

pour tout entier n, an = 0 an+1 |) tend vers un élément L de R+ ∪ {+∞} la suite (| an Alors le rayon de convergence R de la série entière est : 1 ∗ si L ∈ R+ L + ∞ si L = 0

0

si

L = +∞

3 Opérations sur les séries entières
Théorème :
Soit deux séries entières de rayons deconvergence respectifs R et R'. On note p le rayon de convergence de la série entière (an +bn )z n ,

an z n

et

bn z n

somme de ces deux séries entières, alors :

• p ≥ min(R, R ) • pour tout z tel que z < min(R, R )
+∞

:

+∞

+∞

(an + bn )z =
n=0 n=0

n

an z +
n=0

n

bn z n



si

R=R,

alors

p = min(R, R ).

2

Produit de Cauchy :
Le produit deCauchy des séries entières cn z n avec n

an z n

et

bn z n

est la série entière

cn =
j=0

aj bn−j

Théorème :
Soit

an z n

et

bn z n

tifs R et R'. Notons

deux séries entières de rayons de convergence respeccn z n la série entière produit de Cauchy de ces deux

séries et R son rayon de convergence, alors :



pour tout nombre complexe z tel que |z| < min(R, R), les trois séries numériques an z n , bn z n et cn z n sont absolument convergentes. De plus :

+∞

+∞

+∞

cn z n = (
n=0 n=0

an z n )(
n=0

bn z n )

• R ≥ min(R, R )

4 Continuité sur le disque de convergence
Théorème :
La série entière

an z n

est normalement convergente sur tout compact

contenu dans son disque ouvert de convergence.

Théorème :
Soit

an z nune série entière de rayon de convergence

R > 0.

La fonction

somme de cette série entière est continue sur le disque ouvert de convergence

{z ∈ C, |z| < R}

5 Primitive de la somme d'une série entière
Théorème :
Soit

an x n

une série entière réelle de rayon de convergence R strictement

positif. Une primitive sur

] − R, R[ de la fonction somme
x +∞ +∞

S de la...
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