Second degrés
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Chapitre 1 : Second degréI. Fonctions polynômes du second degré
Définition :
On appelle fonction polynôme du second degré, ou plus simplement trinôme, toute fonction f définie sur de la forme f x = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des réels appelés coefficients avec a 0 .
Tableaux de variations :
a >0
a <0
Courbes représentatives :
a >0
a <0
Vocabulaire :
Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. Remarque :
Cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
II. Forme canonique
Propriété :
Un trinôme f x = ax 2 + bx + c peut toujours s’écrire sous la forme f x = a x - + a 0 appelée forme canonique avec = 2
b et 2a
- b 2 + 4ac
.
=
4a
Démonstration :
b
f x = ax 2 + bx + c = a x 2 + x + c a
2
b
On reconnaît dans les parenthèses le début d’une identité remarquable x +
.
2a
2
b b b2
2
2
En effet x +
= x + x + 2 alors x +
2a a 4a
donc
2
2
b b2 b
f x = a x +
+
c
=
a x +
2a
4a 2
2a
- b 2 + 4ac b Si on pose = et =
, on obtient
4a
2a
2
b b b2 x = x +
- 2 a 2a
4a
2
b2 b
- b 2 + 4ac
+ c = ax +
+
4a
2a
4a
f x = a x - + .
2
Remarque :
Le sommet de la parabole représentative de la fonction trinôme f a pour coordonnées
S ; .
Définition :
Le nombre réel b2 - 4ac , noté , est appelé discriminant de f.
III.
Equation du second degré
Théorème :
Le nombre de solutions de l’équation ax 2 + bx + c = 0 dépend du signe de son discriminant. -b-
Si > 0 alors l’équation admet deux solutions distinctes : x1 = et 2a
-b+
.
x2 =
2a
b
Si = 0 alors l’équation admet une unique solution : x 0 = .
2a
Si < 0 alors l’équation n’admet aucune solution.
Démonstration :
2
2
b
b
On sait que f x = a x +
=
a x +
2a
4a
2a
4a 2
2
2
b
= a x + b + x + b - .
Si > 0 alors f x