Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2009 - groupement B
Exercice 1 : (12 points)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
A. Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle (E) : y ′′ − 2y ′ + y = 8ex où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur R, y ′ la fonction dérivée de y et y ′′ sa fonction dérivée seconde.
1. Déterminer les solutions définies sur R de l’équation différentielle (E0 ) : y ′′ − 2y ′ + y = 0
2. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 4x2 ex .
Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales f (0) = −4 et f ′ (0) = −4.
B. Étude locale d’une fonction
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (4x2 − 4)ex . Sa courbe représentative C dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.


O

1

ı

1. (a) Démontrer que pour tout réel x, f ′ (x) = 4(x2 + 2x − 1)ex .
(b) Donner sans justification la valeur exacte et la valeur approchée à 10−2 de l’abscisse de chacun des points de la courbe C où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
2. (a) Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction f est : f (x) = −4 − 4x + 2x2 + x2 ε(x) avec lim ε(x) = 0. x→0 (b) Déduire du a) une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.
(c) Étudier la position relative de C et T au voisinage du point d’abscisse 0.
C. Calcul intégral
Dans cette partie, les questions 1 et 2 peuvent être traitées de façon indépendante.
1. La fonction f définie au début de la partie B est une solution de l’équation différentielle
(E) de la partie A.
Donc, pour tout réel x de R, f (x) = −f ′′ (x) + 2f ′ (x) + 8ex .
En déduire une primitive F de la fonction f sur R.
2. (a) Donner, sans