Serie entière

Pages: 82 (20278 mots) Publié le: 17 octobre 2012
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juillet 2012

Enoncés Exercice 7 [ 03310 ] [correction] an z n une série entière de rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n

1

Séries entières
Rayon et domaine de convergence
Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2n 0 n 0 n 1

n 0

nn 3n z n!

Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+ ∪ {+∞}. Déterminer le rayon de convergence de an z n .

Exercice 2 [ 03054 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence de 2n n (3n)! n a) n!z n b) z c) z (n!)3 n n 0 n 0 n 0

d)
n 0

√ n+1

n+1−

√ n

n zn

Exercice 9 [ 00976 ] [correction] Soit an z n une série entière derayon de convergence R. On pose bn = an 1 + |an | bn z n .

Exercice 3 [ 00972 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 sin(n) n a) zn b) sin(n)z n c) z n2
n 0 n 0 n 1

et on note R le rayon de convergence de a) Montrer que R max(1, R) b) Etablir que si R > 1 alors R = R. c) Exprimer alors R en fonction de R.

Exercice 4 [ 00973 ] [correction] Déterminer le rayonde convergence des séries entières suivantes :
n 1 n 1

d(n)z n et

Exercice 10 [ 00977 ] [correction] Soient an z n une série entière de rayon de convergence R et z0 ∈ C. On
n 0

s(n)z n où d(n) et s(n) désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à 1 de l’entier n et la somme de ceux-ci.

suppose que
n 0

n an z0 est semi-convergente. Déterminer R.

Exercice 5 [00974 ] [correction] Soit an z n une série entière de rayon de convergence R. Déterminer le rayon de convergence de la série entière an z 2n .

Exercice 11 [ 00978 ] [correction] Montrer que pour tout α ∈ R les séries entières rayon de convergence.

an z n et

nα an z n ont même

Exercice 6 [ 03309 ] [correction] Soit an z n une série entière de rayon de convergence R > 0. Déterminer le rayonde convergence de an n z n!

Exercice 12 [ 00979 ] [correction] Soient an z n et bn z n deux séries entières de rayon de convergence Ra et Rb . On suppose que pour tout n ∈ N, an bn = 0. Montrer que le rayon de convergence de (an + bn )z n est R = min(Ra , Rb )

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juillet 2012 Exercice13 Mines-Ponts MP [√ 02841 ] [correction] On note an la nème décimale de 3.
+∞

Enoncés Exercice 19 Centrale PC [ 03483 ] [correction] Soit α un réel irrationnel fixé. On note Rα le rayon de convergence de la série entière xn sin(nπα)
n 1

2

Quel est l’intervalle de définition de
n=1

an xn ?

Exercice 14 Mines-Ponts MP [ 02842 ] [correction] √ 2 Quel est le rayon de convergence de π n+2n x2n ?

a) Démontrer que Rα 1. b) On considère la suite (un )n

1

définie par 1, un+1 = (un )un

u1 = 2 et ∀n Exercice 15 Mines-Ponts MP [ 02843 ] [correction] Soit α ∈ R. Quel est le rayon de convergence de
n 1

Démontrer que pour tout entier n
cos(nα) n x n

1 1 (n + 1)n

?

un un+1

Exercice 16 Mines-Ponts MP [ 02846 ] [correction] n! Soit, pour n ∈ N, an = 1×3×···×(2n+1). Rayon de convergence et somme de la série
+∞

entière
n=0

an xn .

En déduire que la série de terme général 1/un converge. Dans la suite, on pose +∞ 1 α= un n=1 et on admet que α est irrationnel. c) Démontrer qu’il existe une constante C strictement positive telle que, pour tout entier n 1 : +∞ C 1 πun uk uun −1 n k=n+1 d) Démontrer que Rα = 0 e) Question subsidiaire : démontrer que αest effectivement irrationnel

Exercice 17 Mines-Ponts MP PC Pour n ∈ N , on pose In =

[ 02855 ] +∞ 1

[correction]
n

e−t dt

a) Déterminer la limite de (In ). b) Donner un équivalent de (In ). c) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme général In xn . Etudier sa convergence en R et en −R.

Exercice 18 Soit

[ 03016 ]

[correction]
1

Exercice 20 [...
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