Serie entière

20278 mots 82 pages
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juillet 2012

Enoncés Exercice 7 [ 03310 ] [correction] an z n une série entière de rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n

1

Séries entières
Rayon et domaine de convergence
Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2 n 0 n 0 n 1

n 0

nn 3n z n!

Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+ ∪ {+∞}. Déterminer le rayon de convergence de an z n .

Exercice 2 [ 03054 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence de 2n n (3n)! n a) n!z n b) z c) z (n!)3 n n 0 n 0 n 0

d) n 0

√ n+1

n+1−

√ n

n zn

Exercice 9 [ 00976 ] [correction] Soit an z n une série entière de rayon de convergence R. On pose bn = an 1 + |an | bn z n .

Exercice 3 [ 00972 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 sin(n) n a) zn b) sin(n)z n c) z n2 n 0 n 0 n 1

et on note R le rayon de convergence de a) Montrer que R max(1, R) b) Etablir que si R > 1 alors R = R. c) Exprimer alors R en fonction de R.

Exercice 4 [ 00973 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : n 1 n 1

d(n)z n et

Exercice 10 [ 00977 ] [correction] Soient an z n une série entière de rayon de convergence R et z0 ∈ C. On n 0

s(n)z n où d(n) et s(n) désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à 1 de l’entier n et la somme de ceux-ci.

suppose que n 0

n an z0 est semi-convergente. Déterminer R.

Exercice 5 [ 00974 ] [correction] Soit an z n une série entière de rayon de convergence R. Déterminer le rayon de convergence de la série entière an z 2n .

Exercice 11 [ 00978 ] [correction] Montrer que pour tout α ∈ R les séries entières rayon de convergence.

an z n et

nα an z n ont même

Exercice 6 [ 03309 ] [correction] Soit an z n une série entière de rayon de convergence R > 0. Déterminer le rayon

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