Serie entière
20278 mots
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juillet 2012Enoncés Exercice 7 [ 03310 ] [correction] an z n une série entière de rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n
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Séries entières
Rayon et domaine de convergence
Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2 n 0 n 0 n 1
n 0
nn 3n z n!
Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+ ∪ {+∞}. Déterminer le rayon de convergence de an z n .
Exercice 2 [ 03054 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence de 2n n (3n)! n a) n!z n b) z c) z (n!)3 n n 0 n 0 n 0
d) n 0
√ n+1
n+1−
√ n
n zn
Exercice 9 [ 00976 ] [correction] Soit an z n une série entière de rayon de convergence R. On pose bn = an 1 + |an | bn z n .
Exercice 3 [ 00972 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 sin(n) n a) zn b) sin(n)z n c) z n2 n 0 n 0 n 1
et on note R le rayon de convergence de a) Montrer que R max(1, R) b) Etablir que si R > 1 alors R = R. c) Exprimer alors R en fonction de R.
Exercice 4 [ 00973 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : n 1 n 1
d(n)z n et
Exercice 10 [ 00977 ] [correction] Soient an z n une série entière de rayon de convergence R et z0 ∈ C. On n 0
s(n)z n où d(n) et s(n) désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à 1 de l’entier n et la somme de ceux-ci.
suppose que n 0
n an z0 est semi-convergente. Déterminer R.
Exercice 5 [ 00974 ] [correction] Soit an z n une série entière de rayon de convergence R. Déterminer le rayon de convergence de la série entière an z 2n .
Exercice 11 [ 00978 ] [correction] Montrer que pour tout α ∈ R les séries entières rayon de convergence.
an z n et
nα an z n ont même
Exercice 6 [ 03309 ] [correction] Soit an z n une série entière de rayon de convergence R > 0. Déterminer le rayon