Chapitre 1 : rappels sur les suites

24 septembre 2013

Contrôle de mathématiques
Lundi 23 septembre 2013
Exercice 1
ROC

5 points

1) On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q

1

a) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme
1 − qn+1
1−q
b) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 1024
S n = u0

2) a) Donner la formule de la somme S n des (n+1) premier termes d’une suite arithmétique : S n = u0 + u1 + u2 + · · · + un
b) Déterminer en fonction de n, la somme des termes suivante :
S n = 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1)

Exercice 2
Algorithme

4 points

On donne la suite (un ) définie par : u1 = 1, 5

et pour n

1

un+1 =

nun + 1
2(n + 1)

1) Pour calculer un , n étant donné, on propose l’algorithme ci-dessous :
a) Rentrer cet algorithme dans votre calculette, puis donner les valeurs à 10−4 des termes : u2 , u3 , u4 .
Attention aux parenthèses
b) Donner une valeur de u100 à 10−4 puis conjecturer la limite de la suite.
c) Comment modifier cet algorithme pour qu’il affiche tous les termes de u2 à un ?

Variables
I, N entiers naturels
U réel
Initialisation
Lire N
1, 5 → U
Traitement
Pour I de 2 à N faire
(I − 1)U + 1
→U
2I
FinPour
Afficher U

2) En s’inspirant de l’algorithme de la question 1), écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier n tel que un < 0, 001.
Utiliser alors cet algoritme pour déterminer n.

Exercice 3
Suite arithmético-géométrique

4 points

On donne la suite (un ) définie sur N par : u0 = 3 et
Paul Milan

1

un+1

un
+ 3.
=
4
Terminale S

contrˆ le de math´ matiques o e

1) a) Calculer u1 et u2 .
b) Montrer que la suite (un ) n’est ni arithmétique, ni géométrique.
2) On pose pour tout entier n, vn = un − 4
a) Exprimer vn+1 en fonction de vn puis montrer que la suite (vn ) est géométrique.
b) Exprimer vn puis un en fonction de n