© Laurent Garcin

MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

S OMMES
1

ET PRODUITS

Techniques de calcul

1.1

Le symbole

Notation 1.1
Soient m et n deux entiers naturels. Alors n ak = k=m am + am+1 + · · · + an−1 + an
0 sinon.

n,

ak . Cette somme comporte n − m + 1 termes.

ak ou encore

On peut aussi noter

si m

m k n

k∈ m,n

Remarque. La variable k est muette : on peut la remplacer par n’importe quelle autre variable. Autrement dit, n

n

ak =

ap p=m k=m

Exercice 1.1 n−1 1.

Calculer

⑧

k=2

Attention ! Le résultat d’une somme ne peut pas dépendre de l’indice de sommation, ça n’aurait aucun sens !
Une somme ne dépend que de ses bornes et du terme général sommé.

1.2

Règles de calcul

Linéarité de la somme :
(ak + bk ) =

ak +

k

⑧

k

λak = λ k bk k ak k Attention ! On ne peut mettre en facteur qu’une expression qui ne dépend pas de l’indice de sommation.
Remarque. Si on combine les deux propriétés précédentes, on a :
(λak + µbk ) = λ k ⑧

ak + µ k bk k Attention ! La sommation se comporte mal avec les produits. Autrement dit, en général, ak b k = k http://laurentb.garcin.free.fr

ak k 1

bk k © Laurent Garcin

1.3

MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Sommes télescopiques

Méthode

Télescopage

On appelle somme télescopique toute somme du type suivant n (ak+1 − ak ) = an+1 − am k=m Exercice 1.2

❿

⑩

n

Calculer Sn =

ln 1 + k=1 1
.
k

Sommes de puissances n km . On sait (série arithmétique) que S1 (n) =

Notons Sm (n) = k=1 n(n + 1)
. Traitons le calcul de S2 (n).
2

Première méthode
On pose uk = ak3 + bk2 + ck et on déterminer a, b, c tels que uk+1 − uk = k2 pour tout k ∈ N.
Deuxième méthode

n

(k + 1)3 − k3 de deux manières différentes. On a par télescopage

On exprime la somme k=1 n

(k + 1)3 − k3 = (n + 1)3 − 1 = n (n + 1)2 + (n + 1) + 1 . k=1 Et en développant