somme et produit

Pages: 9 (2017 mots) Publié le: 8 janvier 2015
© Laurent Garcin

MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

S OMMES
1

ET PRODUITS

Techniques de calcul

1.1

Le symbole

Notation 1.1
Soient m et n deux entiers naturels. Alors
n

ak =
k=m

am + am+1 + · · · + an−1 + an
0 sinon.

n,

ak . Cette somme comporte n − m + 1 termes.

ak ou encore

On peut aussi noter

si m

m k n

k∈ m,n

Remarque. La variable k estmuette : on peut la remplacer par n’importe quelle autre variable. Autrement
dit,
n

n

ak =

ap
p=m

k=m

Exercice 1.1
n−1

1.

Calculer



k=2

Attention ! Le résultat d’une somme ne peut pas dépendre de l’indice de sommation, ça n’aurait aucun sens !
Une somme ne dépend que de ses bornes et du terme général sommé.

1.2

Règles de calcul

Linéarité de la somme :
(ak +bk ) =

ak +

k



k

λak = λ
k

bk
k

ak
k

Attention ! On ne peut mettre en facteur qu’une expression qui ne dépend pas de l’indice de sommation.
Remarque. Si on combine les deux propriétés précédentes, on a :
(λak + µbk ) = λ
k



ak + µ
k

bk
k

Attention ! La sommation se comporte mal avec les produits. Autrement dit, en général,
ak b k =
khttp://laurentb.garcin.free.fr

ak
k

1

bk
k

© Laurent Garcin

1.3

MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Sommes télescopiques

Méthode

Télescopage

On appelle somme télescopique toute somme du type suivant
n

(ak+1 − ak ) = an+1 − am
k=m

Exercice 1.2





n

Calculer Sn =

ln 1 +
k=1

1
.
k

Sommes de puissances
n

km . On sait (série arithmétique) que S1 (n)=

Notons Sm (n) =
k=1

n(n + 1)
. Traitons le calcul de S2 (n).
2

Première méthode
On pose uk = ak3 + bk2 + ck et on déterminer a, b, c tels que uk+1 − uk = k2 pour tout k ∈ N.
Deuxième méthode

n

(k + 1)3 − k3 de deux manières différentes. On a par télescopage

On exprime la somme
k=1
n

(k + 1)3 − k3 = (n + 1)3 − 1 = n (n + 1)2 + (n + 1) + 1 .
k=1

Et en développantchaque terme de la somme, on a aussi :
n

n

(k + 1)3 − k3 = 3
k=1

n

k2 + 3
k=1

n

k+
k=1

1 = 3S2 (n) + 3S1 (n) + n
k=1

Après calcul, on obtient
S2 (n) =

n(n + 1)(2n + 1)
6

Exercice 1.3
Calculer S3 (n).

http://laurentb.garcin.free.fr

2

© Laurent Garcin

1.4

MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Changement d’indice

Méthode

Changement d’indice

Onpeut procéder à un changment d’indice pour deux types de raison.
➢ Si l’on veut changer l’indice dans les termes à sommer. Par exemple,
n

n+1

ak+1 =

al

k=m

l=m+1

en posant l = k + 1 dans les termes de la somme et en remarquant que l prend alors toutes les valeurs
entières entre m + 1 et n + 1. Ou encore,
n

n

an−k =
k=0

al
l=0

en posant l = n − k dans les termesde la somme et en remarquant que l prend alors toutes les valeurs
entières entre 0 et n.
➢ Si l’on veut changer les bornes de la somme. Par exemple,
n+2

n

ak =
k=2

al+2
l=0

en posant l = k − 2 de telle sorte que les bornes soient 0 et n et en changeant les indices des termes de
la somme en remarquant que k = l + 2.
Dans les deux cas, on peut vérifier en considérant le premier etle dernier terme de la somme avant et après
changement d’indice.



3

Attention ! On ne peut pas effectuer n’importe quel changement d’indice. Par exemple, soit S =

a2k .
k=0

6

On pourrait naïvement effectuer le chanegement d’indice l = 2k de sorte que S =

al . Mais
l=0

3

6

a2k = a0 + a2 + a4 + a6

al = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6

tandis que

k=0

l=0Le problème vient du fait que 2k ne prend pas toutes les valeurs entières entre 0 et 6 mais seulement les valeurs
paires.
Exercice 1.4
Compléter les trous dans les égalités suivantes :


n

uk+2 =
k=3

http://laurentb.garcin.free.fr

k=•



n−1

uk ,

uk =
k=4

k=1

3

n+2

u• ,

n

uk+1 =
k=3

u•
k=•

© Laurent Garcin

MPSI Lycée Jean-Baptiste...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • La somme
  • somme
  • Somme
  • Somme si
  • La bataille de la somme
  • Nous ne somme pas rien.
  • Les grognards de la somme
  • Somme nous libre?

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !