Statistique Mathématique
F. Balabdaoui-Mohr et O. Wintenberger

2

i Nous tenons à remercier Paul Doukhan et Jean-Marc Bardet pour avoir mis à disposition leurs notes de cours desquelles les chapitres 1, 7 et 8 du présent polycopié sont en grande partie inspirés.

ii

Table des matières
I Fondements de la statistique mathématique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
7 7 7 12 16 16 18 19 19 23 27 28 30 31 31 31 32 33 34 34 37 39 39 41 41

1 Rappels de probabilités 1.1 Rappels sur la théorie de la mesure . . . . . . . . . 1.1.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Intégration de Lebesgue . . . . . . . . . . . 1.2 Applications en probabilité . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espérance de variables aléatoires . . . . . . 1.2.2 Fonction de répartition et quantiles d’une loi 1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Principales lois de probabilités . . . . . . . . 1.2.5 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . 1.2.7 Convergence de suites de variables aléatoires 1.2.8 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . 2 Échantillonnage 2.1 L’échantillon aléatoire . . . . . . 2.1.1 Population de taille finie . 2.1.2 Expériences renouvelables 2.1.3 Modèle d’échantillonnage . 2.2 Cas de la population finie . . . . 2.2.1 La moyenne empirique . . 2.2.2 Variance empirique . . . . 2.3 Cas d’expériences renouvelables . 2.3.1 Moments empiriques . . . 2.3.2 Processus empiriques . . . 2.3.3 Quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .