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Pages: 2 (281 mots) Publié le: 18 avril 2013
4.6 Intégration numérique
L’intégration numérique d’une fonction est basée principa
lement sur l’intégration
d’un polynôme d’interpolation
P
n
:
I=
Z
b
a
f
(
x
)
dx
=
Z
b
a
P
n
(
x
)
dx
+
Z
b
a
E
n
(
x
)
dx,
(7)

E
n
désigne l’erreur d’interpolation. L’intégrationnumériq
ue sera néces-
saire si
f
(
x
)
n’est connue qu’en certains points discrets ou si la primiti
ve
R
f
(
x
)
dx
n’est pas connueexplicitement. Selon le théorème de l’erre
ur d’interpolation
de §4, si
x
0
, x
1
, . . . , x
n
sont
n
+ 1
nombres distincts dans l’intervalle
[
a,b
]
et
f

C
(
n
+1)
[
a, b
]
, alors,

x

[
a, b
]
,

ξ
(
x
)

(
a, b
)
tel que
f
(
x
) =
P
n
(
x
) +
f
(
n+1)
(
ξ
(
x
))
(
n
+ 1)!
Π
n
k
=0
(
x

x
k
)
.
On peut écrire
P
n
(
x
) =
n
X
i
=0
f
(
x
i
)
L
n,i
(
x
)
,

Ln,i
(
x
) =
Π
n
j
=0
,j
6
=
i
(
x

x
j
)
Π
n
j
=0
,j
6
=
i
(
x
i

x
j
)
,
est le i-ième polynôme de Lagrange. Donc,de (7) on a
I
=
Z
b
a
f
(
x
)
dx
=
n
X
i
=0
α
i
f
(
x
i
) +
b
E
n
,
(8)

α
i
=
Z
b
a
L
n,i
(
x
)
dx,
et
b
E
n=
Z
b
a
E
n
(
x
) =
Z
b
a
f
(
n
+1)
(
ξ
(
x
))
(
n
+ 1)!
Π
n
k
=0
(
x

x
k
)
dx.
L’approximation du premier terme dudroite de (8) est appelé
e, en général,
une
formule de quadrature
. En faisant varier la valeur de
n
on obtiendra les
formules de Newton-Coat
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