Suite numérique

Pages: 12 (2898 mots) Publié le: 7 octobre 2012
SUITES NUMERIQUES

I Raisonnement par récurrence

Exemple introductif : (Un) défini pour tout n  IN par :  Un+1 = 2 Un + 1   U0 = 0  Formule Un en fonction de n ?  Calcul des premiers termes (1, 3, 7, 15, 31…) n  Conjecture : Pour tout n  IN, Un = 2 – 1  Démonstration ? n  Soit P la propriété définie pour n  IN par : Pn : Un = 2 – 1 Supposons cette propriété vrai pour un certainentier n . n n+1 On a alors Un+1 = 2 Un + 1 = 2(2 – 1) + 1 = 2 – 1 càd Pn + 1. P est héréditaire et comme elle est initialisée elle est finalement vrai pour tout n  0

Axiome : (Propriété admise au départ d’une théorie) Soit Pn une propriété dépendant de n  IN. 1ère étape : on démontre que la propriété est vraie pour n = 0 ou n = 1 (respectivement pour n 0) 2ème étape : on suppose la propriétévraie au rang n 3ème étape : on en déduit que la propriété est vraie au rang n+1 Conclusion : la propriété est vraie pour tout n  IN (respectivement pour tout n ≥ n0).

Exemples : Exemple 1 : Soit (un) la suite définie par : un = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1). u1 = 1 ; u2 = 1 + 3 = 4 ; u3 = 1 + 3 + 5 = 9 ; u4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Conjecture un = n2. Exemple 2 : 1 Soit f la fonction définie par f(x)= x pour tout x ≠ 0. 1 2 3x2 f '(x) = - 2 ; f ''(x) = 3 ; f '''(x) = - 4 . x x x n! Conjecture : f n(x) = (-1)n x n+1 . x n n 2 n² (n + 1)² 3 Démontrez que  k =   k =   4 k=1  k=1 Démontrer par récurrence que

Exemple 3 :

Exemple 4 : (dans le DM1)

 p2
p=1

n

=

n(n+1)(2n+1) . 6

A faire : 38 et 46 p 20-21

TS  Suites

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I Définition
Définition
Unesuite est une fonction numérique définie sur l'ensemble des entiers naturels IN, ou sur l'ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0. L'image d'un entier naturel n est notée u(n) ou un (c'est la notation indicielle). n est souvent appelé l'indice ou le rang du terme un. La suite est notée (un) n IN ou (un) n  n .
0

Exemples
n n2 + 1 Cette suite est définie par la donnéeexplicite de un pour tout entier n. On peut calculer facilement un terme quelconque : u0 = 0 = 1 ; u10 = 10 = 10 ; u3254 = 3254 02 + 1 102 + 1 101 32542 + 1 2°) On considère la suite (un) n  1 définie par u1 = 2 et la relation un+1 = -3un + 1 pour tout n  1 . La suite est définie par son premier terme u1 et par une relation (dite relation de récurrence) permettant de passer d'un terme au termesuivant. En utilisant la relation de récurrence avec n = 1, on obtient u1+1 = -3u1 + 1 donc u2 = -3 x 2 + 1 = -5 Puis en utilisant à nouveau la relation de récurrence avec n = 2, on obtient u2+1 = -3u2 + 1 donc u3 = -3 x (-5) + 1 = 16 Pour calculer u50, il faudra calculer de proche en proche tous les termes u4 , u5, u6 ... , u49 , u50 Une calculatrice ou un ordinateur peuvent alors être très utilespour donner des valeurs approchées. 1°) On considère la suite (un) n IN définie par un =

Exercice 1
On considère la suite (un) n  3 définie par un = 1 . n2 - 4

Calculer u3 ; u4 ; u5 ; u100 . Exprimer un+1 - un en fonction de n , et montrer que un+1 - un < 0 pour tout n  3 Représenter graphiquement la suite avec une calculatrice ou un ordinateur.

Exercice 2
On considère la suite (vn)nIN définie par vn = 1 - 6 . Calculer v0 ; v1 ; v2 ; v3 ; v4 . 2n-2 En utilisant une calculatrice ou un tableur, donner une valeur approchée de v10 ; v20 ; v40 . Que peut-on penser de la limite de cette suite ?

Exercice 3
On considère la suite (wn)n IN définie par w0 = -2 et wn+1 = 1 wn - 3 . 2 Calculer w1 ; w2 ; w3 ; w4 . En utilisant une calculatrice ou un tableur sur ordinateur, donnerune valeur approchée de w10 ; w20 ; w40 . Démontrer par récurrence que pour tout n  IN wn = 1 - 6 2n-2

TS  Suites

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II

Suites arithmétiques - géométriques
Exemple

La suite 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ... est la suite arithmétique de 1er terme 2 et de raison 3 La suite 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48... est la suite géométrique de 1er terme 3 et de raison 2

Définition
On dit qu'une...
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