Les suites num´riques e Suites de Cauchy ; Applications
Jean-Luc EVENO 3 septembre 2005
Le crit`re de Cauchy a une tr`s grande importance en analyse, mais essentiellement dans les questions e e th´oriques. Comme nous en aurons besoin dans quelques d´monstrations, nous vous le pr´sentons donc. e e e

1
1.1

Premi`res d´finitions, premi`res propri´t´s e e e e e
D´finition e
Nε et si p Nε ,

Une suite (un )n∈N est dite de cauchy, si Pour tout nombre ε > 0, il existe un nombre Nε ∈ N tel que, si n alors, |un − up | ε

1.2

Proposition

Soit (un )n∈N une suite convergente ; alors, elle est de Cauchy 1.2.1 D´monstration e

Soit (un )n∈N une suite convergente ; on appelle l sa limite. Soit ε > 0 ε Alors, il existe Nε ∈ N tel que, si n Nε , alors |un − l| 2 Donc, si n Nε et si p Nε , alors, |up − un | |up − l| + |l − un | ε ε + =ε 2 2

D’o` (un )n∈N est bien une suite de Cauchy. u 1.2.2 Remarque lim (um − un ) = 0. En particulier, pour tout

1. En utilisant la contrappos´e, si (un )n∈N n’est pas de Cauchy, alors, elle n’est pas convergente e 2. Autrement dit (un )n∈N est une suite de Cauchy, si p ∈ N lim (un+p − un ) = 0 n→+∞ n→+∞ m→+∞

3. La n´gation du crit`re de Cauchy : e e Il existe un nombre ε > 0, tel que, pour tout nombre N ∈ N, il existe n p N , et |un − up | > ε 4. Exemple n 2n

N et il existe

Soit Sn = k=1 1 ; alors S2n − Sn = k

k=n+1

1 , et comme, pour tout p tel que n + 1 k
2n

p

2n, nous

avons

1 p

1 , nous avons : S2n − Sn = 2n

k=n+1

1 k

n×

1 1 = 2n 2

1

Jamais, donc, on ne peut rendre la diff´rence S2n − Sn aussi petite que l’on veut. Nous sommes e 1 donc dans la n´gation du crit`re de Cauchy. Dans notre cas, ε = , n = N et p = 2N . e e 2 Donc (Sn )n∈N est une suite divergente ( en fait, Sn ≈ ln n )

1.3

Th´or`me admis e e

Soit (un )n∈N une suite r´elle e Elle est convergente, si et seulement si, elle est de Cauchy On dit alors, que R est complet 1.3.1 Remarque

1. On a le mˆme