Cours sur les suites
LMD 1`re ann´e, Unit´s LM115 et LM 151, e e e ann´e 2005-06 e Henri Skoda
Plan du cours sur les suites. 0) Axiomes de d´finition de IR. e 1) D´finition d’une suite. e 2) D´finition de la convergence d’une suite. e 3) Propri´t´s ´l´mentaires: unicit´ de la limite,.... e e ee e 4) Th´or`me des ”gendarmes”. e e 5) Toute suite convergente est born´e. e 6) Suites monotones born´es. e 7) Exemple des suites r´currentes: un+1 = f (un ), o` f est croissante. e u 8) Limites infinies. 9) Op´rations sur les limites. e 10) Suites r´elles et complexes. e 11) Suites adjacentes (ou suites d’intervalles emboˆ es). ıt´ Le paragraphe 12) suivant sera trait´ en T.D sur des exemples dans la mesure e du temps disponible. Il n’est pas strictement au programme de l’unit´: e 12) Suites r´currentes: un+1 = f (un ), o` f est d´croissante. e u e En revanche le paragraphe 13) qui suit est fondamental: 13) Suites: un+1 = f (un ), o` f est contractante. u 0) Propri´t´s du corps IR des nombres r´els. e e e Intuitivement, l’ensemble IR des nombres r´els est repr´sent´ par l’ensemble e e e des points d’une droite, munie d’une origine O (cette origine est identifi´e au e nombre 0). Un nombre r´el est ´galement repr´sent´ par un d´veloppement e e e e e d´cimal illimit´. e e Nous admettons donc comme intuitive, l’existence de l’ensemble IR des nombres r´els, e v´rifiant les propri´t´s suivantes: e ee 1

a) IR est un corps commutatif qui contient le corps des nombres rationnels Q. L’addition et la multiplication de IR prolongent celles de Q. I I b) IR est muni d’une relation (dite) d’ordre, not´e x ≤ y qui v´rifie par e e d´finition les propri´t´s suivantes: e ee i) ∀x ∈ IR, x ≤ x, (r´flexivit´). e e ii) ∀x, y ∈ IR, x ≤ y et y ≤ x =⇒ x = y (antisym´trie) e iii) ∀x, y, z ∈ IR, x ≤ y et y ≤ x =⇒ x ≤ z (transitivit´) e iv) De plus, cet ordre est total, a savoir: ` ∀x, y ∈ IR, x ≤ y ou y ≤ x (c’est ` dire deux r´els sont toujours comparables) a e v) Cet ordre est compatible avec l’addition