TS Exercice 1

Corrigé du devoir N°3

1°) Limite de ( un ) en utilisant les opérations sur les limites a)

un  3n  5 

1 ( n  3) 2n On a : lim (2  n)   (suite de référence) n 1 0 n 2  n Or : lim (3n  5)  

Donc : lim n Donc : lim un   n (addition)

b) un 

(3n  2)(1  n) ( n  1) n2

(3n  2)(1  n) 3 n2  5 n  2 5 2   3   2 2 2 n n n n 2 5 lim 2  0 (suites de références) Or : lim  0 et n n n n Donc : lim un  3 (addition)
Soit n  1 , on a : un  n c)

 2 n On a : lim  2    n
1 2 n un 

1

(suite géométrique de raison
 

2 1 )

Donc : lim 1  2 n  2

n

Donc : lim un  0 n n

 3 d) un    2  2   

 3 3 On a : lim   2   0 (suite géométrique de raison 1  2  1 )  n  
Donc : lim un  2 n n

e) un  3n2  4n  1 Soit n  1 , on a : un  3n2  4n  1  n2 (3  Or : lim
4  0 et n n n 4 1  ) n n2

n n2

lim

1

 0 (suites de références)

Donc lim (3 

4 1  )  3 (addition) n n2

0r lim n2   n Donc : lim un   n f)

un  n2  n n
Soit n  1 , on a : un  n2  n n  n2 (1  Or : lim

n 1 )  n2 (1  ) n n

1 n

n

0 1 n )  1 (addition)

Donc : lim (1  n Or : lim n2   n Donc : lim un   n 2°) Limite de ( un ) en utilisant les théorèmes de comparaison a) un  n²  2 (n  2) En utilisant la calculatrice on conjecture que, pour tout n  2 , un  Démonstration de la conjecture
 n n2  n 2 Soit n  2 , on a :  un   n  2   (Car un et sont positifs). 2 2 4     n 2

n  2 2  un  2  4n  8  n    n   2  un  2  3n  8  
Or : n  2 Donc : n2  4 Donc : 3n2  12  8 n Donc : un  2 Détermination de la limite de ( un ) On a : lim n n   et un  2 n 2 Donc : lim un   (Théorème de minoration) n b)

un  2n  3(1)n

Soit n

, on a : 1  (1)n  1

Donc : 3  3(1)n