SUITES
I- SUITES MAJORÉES, MINORÉES, BORNÉES : 1- Définitions : Définition 1 : Soit u n  une suite. 1. La suite u n  est majorée s’il existe un réel M tel que u n ≤M pour tout entier n. 2. La suite u n  est minorée s’il existe un réel m tel que u n ≥m pour tout entier n. 3. La suite u n  est bornée si elle à la fois majorée et minorée. Remarque 1 : Soit une fonction f majorée (resp. minorée, bornée),  Si la suite u n  définie par u n = f n  existe alors elle est majorée (resp. minorée, bornée).  Si une suite  v n  vérifiant v n1= f  v n  existe alors elle est majorée (resp. minorée, bornée). Exemple : La suite u n  définie par u n =cos n est majorée par 1, minorée par -1, donc elle est bornée. La suite  v n  telle que v n=n 2 n'est pas majorée : elle est minorée par 0. Donc elle n'est pas bornée. 2- Limites : Propriété 1 : Soit u une suite qui converge vers un réel L. 1. Si la suite u n  est majorée par un réel M alors L≤M. 2. Si la suite u n  est minorée par un réel m alors L≥m. Exercice 1 : Soit la suite u n  définie par u 0=0,5 et u n 1 =
2 u n1 u n−1

pour tout entier n.

1. Démontrer par récurrence que u n ∈ [ 2 ; 5 ] pour tout n4. En déduire que la suite est bornée. 2. Si la suite converge vers L, déterminer un encadrement de L. En déduire L. 3- Convergence : Théorème 1 : Toute suite convergente est bornée. Remarque 2 : Si une suite n’est pas bornée alors elle diverge. Propriété 2 : 1. Si une suite est croissante et n’est pas majorée alors elle diverge vers ∞ . 2. Si une suite est décroissante et n’est pas minorée alors elle diverge vers −∞ . Démonstration : Soit une suite u n  non majorée et croissante, et A un réel arbitraire. Puisque la suite est non majorée, il existe au moins un terme u p de la suite tel que u p A . Or la suite étant croissante, si l'on prend n p , on aura u n u p , donc, a fortiori, u n A . On a donc prouvé que, à partir du terme u p , tous les termes de la suite sont supérieurs à A. C'est la