Sujet Bac S – Amérique du Sud – 12 Novembre 2007

Exercice 1 (4 points) Commun à tous les candidats
1) Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances.
On suppose connu le résultat suivant :
La fonction x[pic]e x est l’unique fonction [pic] dérivable sur R telle que [pic]’=[pic] et [pic](0) = 1
Soit a un réel donné. a) Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = e a x est solution de l’équation y’ = a y. b) Soit g une solution de l’équation y’ = a y. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = g(x) e – a x. Montrer que h est une fonction constante. c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation y’ = ay.
2) On considère l’équation différentielle (E) : y’ = 2y + cos x. a) Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f 0 définie sur R par : f 0 (x) = a cos x + b sin x soit une solution f 0 de (E). b) Résoudre l’équation différentielle (E0) : y’ = 2y. c) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f – f0 est solution de (E0). d) En déduire les solutions de (E). e) Déterminer la solution k de (E) vérifiant k([pic]) = 0.

Exercice 2 (5 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; [pic] ; [pic]).
On fera une figue qui sera complétée au fur et à mesure.
Soit f l’application qui à tout point M de P d’affixe z associe le point M’ d’affixe : z’ = [pic]( z + [pic]). 1) Soit E le point d’affixe z E = – i. Déterminer l’affixe du point E’, image de E par f. 2) Déterminer l’ensemble des points M tels que M’ = M. 3) On note A et B les points d’affixes respectives 1 et – 1. Soit M un point distinct des points O, A et B. a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et – 1, on a : [pic]= ([pic])2. b) En déduire une expression de [pic] en fonction de [pic] puis une expression de l’angle ([pic] ;