Systèmes de Réglage Automatique
Alexandru ŢICLEA
UPB FILS 3ème année

2010–2011

Systèmes linéaires en temps discret I Réponse entrée-nulle Réponse impulsionnelle Réponse état-nul Analyse entrée-sortie

Systèmes linéaires en temps discret I

Équations linéaires aux différences finies
Forme avec termes d’avancement : y [k + n] + a1 y [k + n − 1] + · · · + an−1 y [k + 1] + an y [k] = b0 u[k + m] + · · · + bm−1 u[k + 1] + bm u[k]; Forme avec termes de retard : y [k] + a1 y [k − 1] + · · · + an−1 y [k − n + 1] + an y [k − n] = b0 u[k − n + m] + · · · + bm−1 u[k − n + 1] + bm u[k − n]; Condition de causalité : m ≤ n ; La différence d = n − m représente le retard pur du système.

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Systèmes linéaires en temps discret I

Solution itérative et conditions initiales

La forme avec termes de retard peut s’écrire (m = n pour simplicité) : y [k] = − a1 y [k − 1] − a2 y [k − 2] − · · · − an y [k − n] + b0 u[k] + b1 u[k − 1] + · · · + bn u[k − n]; En supposant une entrée causale (u[k] = 0 pour k < 0), le calcul initial (k = 0) nécessite n + 1 pièces d’information : la valeur courante de l’entrée u[0], les précédentes n valeurs de y : y [−1], y [−2], . . . y [−n] ;

En avançant k, on peut calculer récursivement y [1], y [2], . . .

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Systèmes linéaires en temps discret I

Exemple
Estimation des ventes

On résolut itérativement y [k] + 1 y [k − 1] + 4
1 16 y [k

− 2] = u[k]

pour y [−1] = y [−2] = 0 et u[k] = 32 · 1[k] : y [0] = u[0] = 32 y [1] = − 1 y [0] + u[1] = 24 4 y [2] = − 1 y [1] − 4 y [3] = . . . − 1 y [2] 4 −
1 16 y [0] 1 16 y [1]

+ u[2] = 24 + u[3] ≈ 24

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Systèmes linéaires en temps discret I

Représentation à l’aide de l’opérateur E
On définit l’opérateur d’avancement avec une position dans le temps E : E f [k] = f [k + 1]; Application répétée de l’opérateur : En f [k] = f [k + n]; L’équation s’écrit (En + a1 En−1 + · · · + an−1 E + an )y [k] = (b0 Em + b1 Em−1 + · · · + bm−1 E + bm )u[k] ou A(E) y [k] = B(E) u[k]
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