Séries entières

1 Dénitions
Dénition d'une série entière :
Sit

(an )

une suite de nombres complexes, la

série entière

de la variable

complexe z associée à la suite notée :

(an )

est la série de fonction de

C

dans

C

an z n

Lemme :
Soit

une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n )

an z n

Théorème : lemme d'Abel
Soit

an z n

une série entière et

z0

un nombre complexe non nul. Si la suite

n (an z0 )

est bornée, alors pour tout nombre complexe z tel que série numérique an z n est absolument convergente.

|z| < |z0 |,

la

Dénition du rayon de convergence : R

Etant donné une série entière an z n , on note A l'ensemble des réels positifs n r tels que la suite (an r ) soit bornée. On dénit de la série entière an z n par :

le rayon de convergence

R = sup A = sup{r ∈ R+ , (an rn )n∈N born´e} e

Théorème :
Soit

an z n

une série entière de rayon de convergence R.

• •

Pour tout complexe z vériant Pour tout complexe z vériant

|z| < R, |z| > R,

la série numérique la série numérique

an z n an z n

est est

absolument convergente. grossièrement divergente.

Théorème :
Soit

an z n

une série de rayon de convergence R. Alors :

R = sup{r ∈ R+ , (an rn ) converge vers 0}

1

Dénition du disque de convergence :
Soit

an z n

une série entière de rayon de convergence R. Dans le plan com-

plexe, on appelle

disque de convergence de la série entière le disque ouvert
{z ∈ C, |z| < R}

de centre O, de rayon R :

2 Calcul du rayon de convergence
Théorème :
Soit

an z n

une série entière.

• •

Si la série numérique Si la série numérique

convergence R est tel que convergence R est tel que

n an z0 converge pour un certain z0 , |z0 | ≤ R n an z1 diverge pour un certain z1 , R ≤ |z1 |.

le rayon de le rayon de

Règle d'Alembert