Les nombres complexes – 1ère partie 1. L'ensemble des complexes 1.1. Le nombre imaginaire
On notece nouveau nombre imaginaire qui n'est pas réel :
Dans Maximaest noté %i
Saisie Maxima
Résultat
%i;
%i
solve(x^2+1=0,x);
[x=-%i,x=%i]
%i^2;
-1
sqrt(-1)
%i
est donc solution de l'équation. Dit autrement 1.2. Forme algébrique
Un nombre complexe s'écrit sous la formeoùest le nombre complexe qui vérifie est la partie réelle de est la partie imaginaire de est appelé la forme algébrique ou forme cartésienne de est réelle si sa partie imaginaire est nulle () est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle ().
L'ensemble des imaginaires purs est noté
Saisie Maxima
Résultat
realpart(2-3*%i)
2
imagpart(2-3*%i)
-3
1.3. Calculs dans a) Addition de deux nombres complexes
La somme deet deest
Effectuer les calculs suivants à la main puis vérifier avec Maxima
Calcul
Résultat

4+6i

2

-1-i

-i-1

b) Produit de deux nombres complexes
Le produit du nombreet du nombreest le nombre
Ce résultat peut être obtenu en développant simplement le produit et en notant que

Effectuer les calculs suivants à la main puis vérifier avec Maxima
Calcul
Résultat

-21
Utiliser la fonction rektform

-14-10i

1+5i

13i

9i+6

15-35i

c) Puissances de
Effectuer les calculs suivants à la main puis vérifier avec Maxima
Calcul
Résultat
Calcul
Résultat
Calcul
Résultat

1

1

1

i

i

1

-1

-1

-1

-i

i

-1 d) Quantité conjuguée
Pour obtenir la forme algébrique d'un quotient de nombre complexes, on multiplie « haut et bas » par le conjugué.
Exemple :
Effectuer les calculs suivants à la main puis vérifier avec Maxima
Calcul
Résultat

-8-20i/8
Utiliser la fonction rektform

-9i-12/9

-1/2

2. Représentation géométrique des nombres complexes 2.1. Affixe d'un point, d'un vecteur
Munissons le pland’un repère orthonormé
À tout nombre complexe(avecetréels), on