Technique

Pages: 23 (5584 mots) Publié le: 19 octobre 2013
Universit´ Mohammed V - Agdal e Facult´ des Sciences e D´partement de Math´matiques et Informatique e e Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc Fili`re : e Sciences Math´matiques et Informatique (SMI) e et Sciences Math´matiques (SM) e Module Analyse Num´rique I : e Par

Ann´e 2003-2004 e

1

Plan du cours
Introduction Repr´sentation des nombres en machine e R´solution de f(x)=0 eM´thodes directes e M´thodes it´ratives e e R´solution de syst`mes lin´aires e e e Par la m´thode de Gauss e Par la d´composition LU e Interpolation polynomiale Int´gration - D´rivation e e Equations diff´rentielles e

2

Chapitre I : Repr´sentation des nombres en machine e

——————————————————————————– Introduction I) Arithm´tique et sources d’erreurs e 1)Evaluation de l’erreur La repr´sentationdes nombres dans un calculateur e 2)La m´moire de l’ordinateur: le stockage des nombres e Les nombres entiers Les nombres r´els e Troncature d’un nombre Arrondissement d’un nombre II)Les r`gles de base de l’arithm´tique flottante e e III)Propagation des erreurs en arithm´tique flottante e L’erreur absolue sur une somme L’erreur absolue dans la multiplication Perte de chiffres significatifs dans lasoustraction Des formules ´quivalentes peuvent fournir des r´sultats diff´rents e e e Exemple :Calcul de la variance en statistique IV)Conditionnement et stabilit´ num´rique e e Instabilit´ num´rique e e Exercices

0.1
Arithm´tique des calculateurs et Sources d’erreurs e Si sophistiqu´ qu’il soit , un calculateur ne peut fournir que des r´ponses e e approximatives. Les approximations utilis´esd´pendent ` la fois des cone e a traintes physiques (espace m´moire, vitesse de l’horloge...) et du choix des e m´thodes retenues par le concepteur du programme . (pour plus de d´tails e e sur le fonctionnement d’un ordinateur et la terminologie de base voir par exemple la page web htttp://www.commentcamarche.com 3

Le but de ce chapitre est de prendre connaissance de l’impact de ces contraintes etde ces choix m´thologiques. Dans certains cas il doit ˆtre pris e e en compte dans l’analyse des r´sultats dont une utilisation erron´e pourrait e e ˆtre coˆteuse. e u La premi`re contrainte est que le syst`me num´rique de l’ordinateur est e e e discret, c’est ` dire qu’il ne comporte qu’un nombre fini de nombres; Il en a d´coule que tous les calculs sont entach´s d’erreurs. e e

0.1.1Evaluation de l’erreur

Rappelons d’abord quelques notion de base ; Si X est une quantit´ ` calculer et X ∗ la valeur calcul´e, on dit que : ea e 1. X − X ∗ est l’erreur et | E |=| X − X ∗ |est l’erreur absolue. Exemple : Si X = 2.224 et X ∗ = 2.223 alors l’erreur absolue | E |=| X − X ∗ |= 2.224 − 2.223 = 0.001 2. Er = X−X est l’erreur relative, Xr = 0. Xr est une valeur de Xr r´f´rence pour X. Eng´n´ral ,on prend Xr = X. ee e e Exemple : Si X = 2.224 et X ∗ = 2.223 alors , si on prend Xr = X , l’erreur ∗ ∗ relative Er = X−X = |X−X | = 0.001 = 4 . 496 × 10 −4 Xr |X| 2.224 Cependant, si X est la valeur d’une fonction F (t) avec a ≤ t ≤ b, on choisira parfois une valeur de r´f´rence globale pour toutes les valeurs ee de t. Exemple : Si X = sin(t) avec 0 ≤ t ≤ sup sin(t).
0≤t≤ π 4 ∗

π , 4on pourra prendre X =

√ 2 2

=

En g´n´ral , on ne connait pas le signe de l’erreur de sorte que l’on e e consid`re les erreurs absolues et les erreurs relatives absolues. e 4

Les op´rations ´l´mentaires propagent des erreurs. e ee Dans la pratique, on consid`re que : e 1) L’erreur absolue sur une somme est la somme des erreurs absolues. 2) L’erreur relative sur un produit ou un quotientest la somme des ereurs relatives. On peut estimer l’effet d’une erreur E sur l’argument x d’une fonction f (x) au moyen de la d´riv´e de f (x). En effet f (x + E) f (x) + Ef (x) e e Exemple : Calculer la valeur de (11111111)2 La valeur fournie par une petite calculatrice ` cinq chiffres est 1, 2345x1014 a Mais la r´ponse exacte est 123456787654321. e La machine a donc tronqu´ le r´sultat ` 5...
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