Théorie de l agence

Pages: 10 (2337 mots) Publié le: 7 novembre 2010
Rappels sur les fonctions trigonom´triques e
A Fonctions circulaires

´ A.1 Rappels de trigonometrie
Radians et cercle trigonom´trique e

Le radian est une unit´ de mesure d’angle (orient´) e e d´finie par le fait que la mesure d’un angle plat est e π radians. Un angle droit par exemple mesure ±π 2 radians.
5π 6

2π 3 3π 4

π 2

π 3 π 4 π 6

On appelle cercle trigonom´trique lecercle centr´ e e en l’origine de rayon 1. La circonf´rence de ce cercle e mesure 2π. Pour repr´senter un angle de x radians, on e consid`re un arc de cercle de longueur x orient´ e e dans le sens trigonom´trique (i.e. dans le sens e contraire des aiguilles d’une montre).

π

0

- 5π 6 - 3π 4 - 2π 3 -π 2 -π 3 -π 4

-π 6

2
Les fonctions sinus, cosinus et tangente Les fonctions cosinus etsinus sont d´finies sur R, e a ` valeurs dans [−1, 1], 2π-p´riodiques et d´rivables e e sur R avec pour tout x ∈ R
tan x

cos x = − sin x

et

sin x = cos x.

La variable x d´signe une mesure d’angle exprim´e e e en radians. Par ailleurs, la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. On appelle fonction tangente la fonction not´e tan e d´finie sur R \ π + πZ par e 2 tan x =sin x cos x
x cos x

sin x

Il s’agit d’une fonction impaire, π-p´riodique, ine finiment d´rivable sur R \ π + πZ et qui v´rifie e e 2 pour tout x ∈ − π , π 2 2 tan (x) = 1 = 1 + tan2 x. cos2 x

Quelques valeurs remarquables des fonctions sinus, cosinus et tangente

x sin x cos x tan x

0 0 1 0

π 6 1 2 √ 3 2 1 √ 3

π 4 √ 2 2 √ 2 2 1

π 3 √ 3 2 1 2 √ 3

π 2 1 0

2π 3π 3 4 √ √ 32 2 2 √ 1 2 − − 2 2 √ − 3 −1

3 2 1 −√ 3 −

5π 6 1 2 √

π 0 −1 0

Beaucoup d’autres valeurs remarquables se retrouvent ais´ment ` partir de celles qui pr´c`dent en e a e e utilisant les relations entre sinus et cosinus (consulter le formulaire ` ce propos). a

A - Fonctions circulaires

3

A.2 Variations de la fonction sinus
Puisque la fonction sinus est 2π-p´riodique et impaire,il suffit de connaˆ ses variations sur l’intervalle e ıtre [0, π] pour en d´duire ses variations sur R. e
0 1 +
π 2

x sin x = cos x sin x

π − −1

0 1

0

0

1

|

|

|

|

|

|

|

|

|

−2π −

3π 2

−π −

π 2 −1
|

0

π 2

π

3π 2



y = sin x

A.3 Variations de la fonction cosinus
La fonction cosinus est 2π-p´riodique et paire, il suffitdonc de connaˆ ses variations sur l’intervalle e ıtre [0, π] pour en d´duire ses variations sur R. e
0 0 1 cos x 0 −1 −
π 2

x cos x = − sin x

π − 0

−1

1
| | | | | | | |

|

−2π

3π − 2

−π

π − 2 −1
|

0

π 2

π

3π 2



y = cos x

4 A.4 Variations de la fonction tangente
La fonction tangente est π-p´riodique et impaire, il suffit donc de connaˆ sesvariations sur l’intervalle e ıtre 0, π pour en d´duire ses variations sur son ensemble de d´finition. e e 2 Pour tout x ∈ 0, π , on a tan x = 1 + tan2 x > 0 donc la fonction tangente est strictement croissante 2 sur l’intervalle 0, π . 2
0 1 + +∞ tan x 0
π 2

x tan x = 1 + tan2 x

1

|

|

|

|

|

|

|

|

3π − 2

−π −

π 2

0

π 4

π 2

π

3π 2

y = tan x Il fautprendre garde au fait que la fonction tangente n’est pas globalement croissante puisqu’il s’agit d’une fonction p´riodique ! e

´ B - Fonctions reciproques des fonctions circulaires

5

B

´ Fonctions reciproques des fonctions circulaires

B.1 La fonction arcsinus
D´finition e La fonction sinus est continue sur R et strictement croissante sur l’intervalle − π , π , elle r´alise donc e 22 une bijection de cet intervalle sur son image [−1, 1] et on peut d´finir son application r´ciproque. e e B.1.1 D´finition e On appelle fonction arcsinus, et on note Arcsin : [−1, 1] → − π π , , x → Arcsin x , 2 2 − π π , . 2 2

l’application r´ciproque de la restriction de la fonction sinus ` l’intervalle e a

B.1.2 Remarques Pour tout x ∈ [−1, 1], Arcsin x est la mesure d’angle comprise...
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