Transformée de laplace

Pages: 4 (972 mots) Publié le: 13 mai 2011
Transformée de Laplace

Transformée de Laplace

C’est une astuce mathématique « géniale » qui permet de remplacer une équation différentielle du type m x + c x + k x = f ( t ) par une équationalgébrique de type A X = F beaucoup plus facile à résoudre !!!

Démonstration :
+∞ 0

Posons

F( s ) =

e − st f ( t ) dt = L f ( t )

( )

1

Par l’opérateur L on substitue f ( t ) parF( s )

f (t )

L  F( s ) →

D’autre part en appliquant la formule très connue ( uv ) ' = ( u ) ' v + u ( v ) ' et en la transformant ainsi u ( v ) ' = ( uv ) '− ( u ) ' v sur l’expressionsuivante :

e− st
u

f '( t )
v

=

d − st e dt u
( uv ) '

f( t )
v



( −s )
u'

e− st

( f( ) )
t v

e− st f '( t )

=

d − st e f(t ) dt

+ s e− st f( t )

Enintégrant membre à membre, il vient :
+∞ 0

e − st f '( t ) dt
F '( s )

=

+∞ 0

d − st e f( t ) dt dt

+

+∞ 0

s e − st f ( t ) dt

Gérard Wollensack

1

Transformée de Laplace
+∞0 +∞ 0 +∞ 0

e − st f '( t ) dt
F '( s )

=

e− st f ( t )
→ 0 1

+s

e− st f( t ) dt
F( s )

e−∞ f( ∞ ) − e0 f ( t )

F '( s ) = − f( 0 ) + s F( s )

ceci en ayant posé :

F '( s) =

+∞

0

e− st f '( t ) dt

F '( s ) étant la transformée de f '( t )

De la même manière

F ''( s ) = − f '( 0) + s F '( s )

F ''( s ) étant la transformée de f ''( t )
Et ainside suite ….

On pourrait montrer :

f(t )

Transformée de Laplace F( s )

α1 f1(t ) + α 2 f 2(t )
f '( t )
f ((t )n )
t t

α1 F1( s ) + α 2 F2( s )
s F( s ) − f ( 0 )
s n F( s ) − s n −1f ( 0) + s n − 2 f '( 0 ) + ..... + s f (
n−2)

( 0)

+ f(

n −1)

( 0)

0

f ( u ) g(t −u ) du

ou

0

f ( t −u ) g( u ) du F( s )G( s ) F( s + a )
1 F s ( s) 1 F − s ( s)

e−at f ( t )
t

0
t t0

f ( u ) du
f( u ) du

{

t0

0

f (u ) du

}
2

Gérard Wollensack

Transformée de Laplace Application à la mécanique des vibrations où nous avons le...
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