Transformee de Fourier Rapide

Pages: 6 (1365 mots) Publié le: 10 juin 2014
Dept GEII IUT Bordeaux I

TRANSFORMEES de FOURIER NUMERIQUE
et
DISCRETE (FAST FOURIER TRANSFORM)
APPLICATIONS
(Vol. 4)

G. Couturier
Tel : 05 56 84 57 58
email : couturier@elec.iuta.u-bordeaux.fr

Sommaire

I- Transformée de Fourier numérique
II- Transformée de Fourier discrète
II-1- les fenêtres d'analyse

Transformées de Fourier numérique et discrète : FFT (Fast FourierTransform)
Applications
Nous avons montré précédemment l'intérêt de la transformée de Fourier pour obtenir
par exemple la réponse en fréquence H(f) d'un système. Le calcul de la transformée de Fourier
pose cependant un certain nombre de problèmes, en effet un ordinateur ne peut traiter que des
signaux numériques, ceux-ci sont obtenus après un échantillonnage et une quantification. Par
ailleursla mémoire d'un ordinateur est forcément limitée, il s'ensuit que le calcul porte sur un
nombre de points limités.
Dans cette partie on se propose de passer en revue l'ensemble des problèmes posés par
l'utilisation de la transformée de Fourier discrète.
I- Transformée de Fourier numérique
On rappelle que la transformée de Fourier X(f) d'un signal x(t) continu dans le temps
s'écrit :
X( f ) =∫



−∞

x (t )e − jωt dt

(1)

Après échantillonnage de x(t), on obtient les échantillons x(nTe) où Te est la période
d'échantillonnage. Nous avons vu précédemment que le spectre du signal échantillonné était
périodique, de période égale à Fe = 1/Te, et que son module était pair. D'un point de vue
mathématique la transformée de Fourier X1(f) des échantillons x(nTe), appeléetransformée de
Fourier numérique, s'écrit :
X1( f ) =

k =∞

∑ x( k ) e− jωkTe

(2)

k =−∞

NB : pour simplifier l'écriture on écrit x(k) à la place de x(kTe), ce qui sous entend un
échantillonnage à la fréquence Fe = 1/Te.
On vérifie bien que X1(f) est une fonction périodique de période Fe, en effet si on
remplace f par (f+MFe) on obtient toujours le même résultat :
e − j 2π ( f + MFe) kTe = e − j 2 πfkTe e − j 2πMFe kTe = e − j 2 πfkTe e − j 2πMk = e − j 2 πfkTe
Par ailleurs, on remarque que les parties réelle et imaginaire de X1(f) sont
respectivement des fonctions paire et impaire de la variable f, il s'ensuit que le module de X1(f)
est également une fonction paire de la variable f. La périodicité de X1(f) résulte de
l'échantillonnage, c'est un résultat que nous avionsdéjà obtenu en étudiant la théorie de
l'échantillonnage.
Avec un ordinateur il est impossible de calculer X1(f) pour k allant de - ∞ à + ∞ , en
effet il faudrait une mémoire infinie. En pratique, le nombre d'échantillons est limité à N par
exemple, on ne calcule donc pas X1(f) mais Z(f) qui s'écrit alors :
Z( f ) =

k = N −1



k =0

z ( k ) e− jωkTe

(3)

signal échantillonnéx(t)

Te
échantillonneur
théorique

t

t

X(f)

X

1

(f)

f

f

-Fe

-Fe /2

Fe /2

Fe

Fig. 1 Transformée de Fourier X(f) d'un signal continu dans le temps et transformée de Fourier numérique
d'un signal échantillonné

Les z(k) échantillons sont obtenus en multipliant les x(k) échantillons par les y(k)
échantillons d'un fenêtre d'analyse (ou encore fenêtre depondération). Les y(k) échantillons
de la fenêtre d'analyse sont nuls pour k < 0 et k > (N-1); z(k)= x(k)y(k).
La fenêtre d'analyse la plus simple est la fenêtre rectangulaire (rectangular window ou
boxcar en anglais) dont les échantillons notés yR(k) sont tels que :
yR(k) = 1 pour k allant de 0 à (N-1)
yR(k) = 0 pour (N-1) < k < 0
Dans ce cas particulier, Z( f ) =

k = N −1



z( k)e− jωkTe =

k = N −1

k =0



x( k )e− jωkTe . La fig. 2 montre

k =0

le cas d'un fenêtre rectangulaire appliquée sur des échantillons x(k).

x(k)

k
0

1

N-1
y (k)
R

1
0

1

N-1

z(k) pour k=0, 1, 2, ... N-1

0

1

N-1

Fig. 2 Pondération des échantillons x(k) par les échantillons yR(k) d'une fenêtre
rectangulaire

II- Transformée de Fourier...
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