Simplification d’expressions contenant des valeurs absolues
& applications
Rappelons la définition de la valeur absolue :

( ∀x ∈ R )

⎧⎪x si x ≥ 0 x = ⎪⎨
⎪−
⎪⎩ x si x ≤ 0

En d’autres termes, la valeur absolue d’un réel positif x est ce réel x, la valeur absolue d’un réel négatif x est l’opposé de ce réel x. Par exemple :
3 = 3 , car 3 ≥ 0

et

−3 = − (−3) = 3 , car −3 ≤ 0 . Une conséquence

immédiate de la définition est la propriété essentielle de la valeur absolue :

( ∀x ∈ R )

x ≥0

Lorsque vous rencontrez des expressions algébriques contenant des valeurs absolues, il est très souvent nécessaire d’éliminer les valeurs absolues.
Pour cela, on discute toujours en utilisant la définition.
a) Nous commençons par étudier des expressions contenant une seule valeur absolue. Par exemple :
⎧⎪2x − 4 si 2x − 4 ≥ 0 c.-à.d. si x ≥ 2
2x − 4 = ⎪⎨
⎪−
⎪⎩ 2x + 4 si 2x − 4 ≤ 0 c.-à.d. si x ≤ 2
Il est pratique de faire la simplification dans un tableau : x 2

−∞

+∞

2x − 4

−

0

+

2x − 4

−2x + 4

0

2x − 4

On écrit l’opposé de l’expression entre là où elle est − .

On écrit l’expression entre où elle est + .

là

La ligne dans le tableau qui contient le signe de 2x − 4 est en fait superflue car on connaît la :
Règle du signe d’un binôme ax + b du 1er degré ( a ≠ 0 ) :
Le signe de a se trouve toujours à droite du zéro.
Dans la suite, on fera donc directement le tableau de simplification suivant : x 2

−∞

−2x + 4

2x − 4

+∞

0

2x − 4

De même, par exemple pour simplifier 3 − x , on obtient :
−∞

x

0

3−x

3−x

+∞

3 x −3

Rappelons également la :
Règle du signe d’un trinôme ax 2 + bx + c du 2e degré ( a ≠ 0 ) :
Le signe de a est partout, sauf entre les racines.
Donc, par exemple, pour simplifier x 2 − 6x − 7 , on détermine d’abord les racines du trinôme, qui sont −1 et 7, puis on obtient le tableau de simplification suivant : x −∞

x 2 − 6x − 7

x 2