Chapitre 4

Corrig´s des exercices : Variables al´atoires, lois classiques e e
1. * Soit X une v.a.r. discr`te prenant les valeurs 3, 4, 5 et 6. D´terminer la loi de probabilit´ de X sachant e e e que:
P ([X < 5]) = 1/3 ; P ([X > 5]) = 1/2 ; P ([X = 3]) = P ([X = 4]).

P ([X = 3]) = P ([X = 4]) = a, P ([X = 5]) = b, P ([X = 6]) = c, avec 2a + b + c = 1, c = 1/2
1
1 et 2a = . Donc a = , c = 1/2 et b = 1 − 2a − b = 1/6.
3
6
2. * On joue a pile ou face avec 2 pi`ces. Soit X le nombre de piles obtenus. D´terminer la loi de X, son
`
e e esp´rance et sa variance. e 1
Ω = {(p, p), (p, f ), (f, p), (f, f )}. X(Ω) = {0, 1, 2} avec P ([X = 0]) = P ({(f, f )} = ,
4
1
1
P ([X = 1]) = P ({(p, f ), (f, p)}) = et P ([X = 2]) = P ({(p, p)}) = .
2
4
1
1
1
1
1
On a alors IE(X) = 0 × + 1 × + 2 × , soit IE(X) = 1 et var(X) = 02 × + 12 × +
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2
4
4
2
1
1
1
1
22 × − 1 = + 1 − 1, soit var(X) = . En fait, X suit la loi B 2,
.
4
2
2
2
3. * Le nombre X de kilogrammes de tomates r´colt´es dans un jardin en une semaine est une variable e e al´atoire dont la distribution de probabilit´ est la suivante : e e k P ([X = k])

0
0.1

1
0.5

2
0.3

3
0.1

Quelle est l’esp´rance de X et sa variance ? e IE(X) = 0 × 0.1 + 1 × 0.5 + 2 × 0.3 + 3 × 0.1 = 0.5 + 0.6 + 0.3, soit IE(X) = 1.4 . var(X) = 02 ×0.1+12 ×0.5+22 ×0.3+32 ×0.1−1.42 = 0.5+1.2+0.9−1.96, soit var(X) = 0.64 .
4. * Un chef de service commercial estime avoir une probabilit´ 0.6 de faire gagner 100 000 euros ` son e a entreprise. Si cette op´ration est manqu´e, la perte est de 20 000 euros. Quelle est l’esp´rance math´matique du e e e e gain ?

IE(X) = 100000 × 0.6 − 20000 × 0.4 = 60000 − 8000 = 52000.
5. ** Trois urnes A, B et C contiennent respectivement 1 boule blanche et 3 noires, 2 blanches et 2 noires,
3 blanches et 1 noire. On tire au hasard une boule dans chacune des 3 urnes, et on d´signe par X le nombre de e boules blanches obtenues.