Vceteur

Pages: 5 (1183 mots) Publié le: 21 février 2013
Cours géométrie 2°

Vecteurs
1. Translation
Définition h p r r r Soit u un vecteur et ( A, B ) l'un de ses représentants (donc ( A, B )∈ u ou AB = u ). r On appelle norme du vecteur u la distance de A à B, c'est-à-dire le réel positif AB. r On note u = AB = AB

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Définitions Soient deux points du plan A et B. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan unpoint D tel que ABDC soit un parallélogramme. La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur AB .

3. Opérations
3.1. Addition
Définition La somme de deux vecteurs est un vecteur. r

Définition Dire que deux vecteurs AB et CD sont égaux signifie que la translation qui transforme A en B associe C au point D. On note AB = CD . Définition Deux vecteurs AB et CD sontégaux si, et seulement si, le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement applati. On note AB = CD .

r u

v

a) Relation de Chasles

b) Règle du parallélogramme

r u

r v r r u+v
r r u + v = AB + BC = AC

r u r v

r r u+v

2. Vecteur
Définition
r Le vecteur AB , que l'on peut noter aussi u , représenté par les points A et B est l'ensemble des couples de points quiont :

même "longueur" que AB . A et B sont dans cet ordre. A est appelé l’origine et B l’extrémité
sa direction r  Un vecteur u est donc caractérisé par : son sens sa longueur 

• • •

même direction que AB , même sens que AB , Forme soustractive de la relation de Chasles Il existe une autre forme de la relation de Chasles :

r r u + v = AB + AD = AC ABCD est un parallélogrammeAC = BC − BA (Extrémité - Origine)

On ne peut pas dessiner un vecteur. On le représente par l'un de ses éléments (de ses représentatnts) qui indique les caractéristiques du vecteur (direction, sens, longueur).

r u

r u

r u r u

r u

© Chabert novembre 2012

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Vecteurs

Cours géométrie 2° Définition La droite (AB) passant par les points A et B est l'ensemble des pointsM du plan tels que AM et AB soient colinéaires. Définition Un vecteur directeur d'une droite D est un vecteur non nul représentable par un couple de points de la droite.

3.2. Multiplication par un réel, vecteurs colinéaires
Définitions Multiplication par un réel Vecteurs colinéaires r r Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’ils ont même direction.
r v

r 3u r u r −2 u

1r u 3

r vsa direction  r Soit le vecteur u caractérisé par son sens r sa norme u  r r Le produit de u par un réel k est un vecteur ku .

Définition r La droite D passant par le point A et de vecteur directeur v est l'ensemble r des points M du plan tels que AM et v soient colinéaires.

5. Repère
Définition 1 Soient O un point du plan, I et J deux points non alignés avec O. (O; I , J ) est un repèredu plan
r j
r i

même direction  r  même sens si k > 0 k .u   sens contraire si k < 0 r r norme de k .u = k × norme de u 

r r [u et v colinéaires] ⇔  

Il existe un réel k  r r  tel que u = k × v 

Propriétés r r r • Pour tout vecteur v , 0 × v = 0 . Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs ! k = 0  r r • k × v = 0 ⇔ ou r r v = 0

Définition 2 r r Soient Oun point du plan et i et j deux vecteurs non colinéaires. r r O; i , j est un repère du plan

(

)

6. Coordonnées d’un vecteur
2.1. Définition
r y× j
r j
r i

4. Conséquences
Théorème Si les vecteurs AB et CD sont colinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles (même direction). Théorème Si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés.En effet, les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Mais comme A et commun, d'après l'axiome d'Euclide, elles sont confondues. © Chabert novembre 2012

→ 

OM
r x× i

Cours géométrie 2°

Vecteurs

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 r r (x; y ) sont les coordonnées du point M dans le repère O; i , j .

(x; [OM = x × ir + y × rj ]⇔ dansOMbasey()ir, rj ) ⇔ dans le M (x; y()O; ir, rj )...
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