CHAPITRE VI
1°) Vecteurs orthogonaux.

ORTHOGONALITE DANS LE PLAN

Définition. ρ ρ ρ ρ Soit u et v deux vecteurs non nuls et A, B et C trois points tels que AB = u et AC = v . ρ ρ On dit que u et v sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. ρ ρ ρ ρ On note : u ⊥v et on lit u est orthogonal à v . Exemple : Soit ABCD un carré de centre O. Les vecteurs AB et AD sont orthogonaux, on écrit AB⊥ AD . De même OC⊥OD , OA⊥ BD. Contre-exemple : les vecteurs DB et DC ne sont pas orthogonaux. D Théorème 1 : Expression analytique de la normeρ de la distance. et ρ Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; i ; j ) . Avec A( x A ; y A ) et B(x B ; y B ) , AB = AB = ( x B − x A ) 2 + ( y A − y B ) 2 . C A O B

Exemple numérique : ρρ Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; i ; j ) . Soit A(3 ;-2), B(0 ;2) et C(-4 ;-1), montrer que le triangle ABC est isocèle, rectangle en B. ρ ρ Avec u (x ;y), u = x ² + y ² .

ρ ρ Soit A et B tels que AB = u , alors x = x B − x A et y = y B − y A , u et AB ont même longueur ρ ρ donc même norme, c’est à dire u = AB = ( x B − x A )² + ( y B − y A )² , d’où u = x ² + y ² .
Exemple numérique : Exercice n° 13 3°) et 7°) page 243. Théorème 2 : Condition analytique d’orthogonalité de deux vecteurs. ρ ρ ρ ρ Soit u (x ;y) et v (x’ ;y’), u et v sont orthogonaux si et seulement si xx’+yy’=0. Preuve : ρ ρ Si l’un des vecteurs u ou v est nul, l’affirmation est évidente. ρ ρ Sinon considérons les points A et B tels que OA = u et OB = v , c’est à dire A(x ;y) et ρ ρ B(x’ ;y’). Alors u et v orthogonaux signifie que OAB est un triangle rectangle en O ou encore AB²=OA²+OB² d’après Pythagore, ce qui se traduit par (x’-x)²+(y’-y)²=x²+y²+x’²+y’², c’est à dire x’²-2xx’+x²+y’²-2yy’+y²=x²+y²+x’²+y’², on en déduit que xx’+yy’=0. ρ ρ Réciproquement, si u (x ;y) et v (x’ ;y’) sont tels que xx’+yy’=0, alors toujours avec A(x ;y) ρ ρ et B(x’ ;y’) tels que OA = u et OB = v : AB²=(x’-x)²+(y’-y)²=x’²-2xx’+x²+y’²-2yy’+y²,