LYCEE REDA SLAOUI CLASSES PREPARATOIRES Agadir
Devoir surveillé

n◦ 2-T- n◦ 1

Proposé par: EL JAOUI EL HASSAN 22/11/2008

Ce devoir surveillé est composé d'un problème formé de trois parties dépendantes. Il est extrait du concours . Les élèves sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation de la copie. Tout essai de plagiat ou de fraude sera sévèrement puni. Les résultats de calcul devront être centrés et encadrés. Souligner pour séparer deux réponses consécutives, et surtout n'oublier pas de laisser une bonne marge pour la notation et les remarques du correcteur.

Centrale-Supelec-2005-MP-mathématiques 1

1

Problème.

On dira qu'une fonction dénie de R vers C est continue par morceaux, si elle est continue sur tout segment [a, b] de R sauf peut être en un nombre ni de points de [a, b], où elle admet des limites nies à droite et à gauche. On admet que la somme (respectivement le produit) de deux fonctions continues par morceaux, est continue par morceaux. Dans tout ce problème B désigne l'ensemble des fonctions bornées continues par morceaux de R vers C. Pour tout x ∈ B, on note ||x||∞ = sup |x(t)|, et si t0 < t1 < . . . < tn sont les points de discontinuité de x sur le segment [a, b], on rappelle que : b n−1 tk+1 t∈R

x(t)dt = a k=0 tk

x(t)dt.

Une telle intégrale possède toutes les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue, en particulier : (i) La propriété de linéarité. (ii) ab x(t)dt ≤ ab |x(t)|dt, si a ≤ b. (iii) b a x(t)dt

≤ (b − a)||x||∞ , si a ≤ b.

Pour tout x ∈ B, on appelle moyenne de x, s'il existe le nombre complexe :
M (x) = lim MT (x) avec MT (x) =
T →+∞

Partie I :Fonctions moyennables.

1 T

T

x(t)dt.
0

On dira, dans ce cas que la fonction x est moyennable. Et on notera M1 l'ensemble des fonctions moyennables appartenant à B. 1

1.

Soient x, y deux éléments de M1 ,