Intégrales
Définition de l’intégrale
→ →
− −
Un repère orthonormé (O, i , j ) étant fixé, l’unité d’aire est l’aire du carré OIKJ où I(1, 0), K(1, 1) et J(0, 1) (l’aire du carré OIKJ vaut 1 par définition). f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b].
D est le domaine du plan délimité par les droites d’équations x = a et x = b,
x)
f( l’axe des abscisses et la courbe représentative de f.
=
y
D
L’intégrale de la fonction f sur l’intervalle [a, b] est l’aire A du domaine D exprimée en unités d’aire. a b

b

A = aire de D

a

b

=

rectangles de longueur f(x) et de largeur infinitésimale dx quand x varie de a à b.

f(x) dx a f(x
)

Si f n’est pas de signe constant sur [a, b], l’intégrale de f sur [a, b] est la différence de la somme des aires des domaines situés au-dessus de (Ox) et de la somme des aires des domaines situés au-dessous de (Ox).

= y a

D4

D2
D3

D1

f(x) dx car il est obtenu en ommant les aires des

Ce nombre est noté

b

b

f(x) dx = −A1 + A2 − A3 + A4 . a Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] (a < b). La valeur moyenne de f sur [a, b] est

1 b−a b

f(x) dx. a Propriétés de l’intégrale
• Linéarité de l’intégrale

b

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b]. Alors

b

(f + g)(x) dx =

b

f(x) dx +

a

a b Soient f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et λ un réel. Alors

g(x) dx. a b

(λf)(x) dx = λ a f(x) dx. a • Positivité de l’intégrale, croissance de l’intégrale
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si a et b sont deux réels de I tels que a

b et si pour tout réel x de [a, b]

b

on a f(x)

0, alors

f(x) dx

0.

a

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Si a et b sont deux réels de I tels que a b x de [a, b] on a f(x)

g(x), alors

b et si pour tout réel

b