L'accord de libre échange

Pages: 9 (2246 mots) Publié le: 12 janvier 2012
LYCEE REDA SLAOUI CLASSES PREPARATOIRES Agadir
Devoir surveillé

n◦ 2-T- n◦ 1

Proposé par: EL JAOUI EL HASSAN 22/11/2008

Ce devoir surveillé est composé d'un problème formé de trois parties dépendantes. Il est extrait du concours . Les élèves sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des élémentsimportants pour l'appréciation de la copie. Tout essai de plagiat ou de fraude sera sévèrement puni. Les résultats de calcul devront être centrés et encadrés. Souligner pour séparer deux réponses consécutives, et surtout n'oublier pas de laisser une bonne marge pour la notation et les remarques du correcteur.

Centrale-Supelec-2005-MP-mathématiques 1

1

Problème.

On dira qu'une fonction déniede R vers C est continue par morceaux, si elle est continue sur tout segment [a, b] de R sauf peut être en un nombre ni de points de [a, b], où elle admet des limites nies à droite et à gauche. On admet que la somme (respectivement le produit) de deux fonctions continues par morceaux, est continue par morceaux. Dans tout ce problème B désigne l'ensemble des fonctions bornées continues parmorceaux de R vers C. Pour tout x ∈ B, on note ||x||∞ = sup |x(t)|, et si t0 < t1 < . . . < tn sont les points de discontinuité de x sur le segment [a, b], on rappelle que :
b n−1 tk+1 t∈R

x(t)dt =
a k=0 tk

x(t)dt.

Une telle intégrale possède toutes les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue, en particulier : (i) La propriété de linéarité. (ii) ab x(t)dt ≤ ab |x(t)|dt, si a ≤ b.(iii)
b a x(t)dt

≤ (b − a)||x||∞ , si a ≤ b.

Pour tout x ∈ B, on appelle moyenne de x, s'il existe le nombre complexe :
M (x) = lim MT (x) avec MT (x) =
T →+∞

Partie I :Fonctions moyennables.

1 T

T

x(t)dt.
0

On dira, dans ce cas que la fonction x est moyennable. Et on notera M1 l'ensemble des fonctions moyennables appartenant à B. 1

1.

Soient x, y deux éléments de M1 ,α et β deux nombres complexes donnés. (a)- Montrer que MT (αx + βy) = αMT (x) + βMT (y). (b)- Montrer que αx + βy ∈ M1 et que M (αx + βy) = αM (x) + βM (y). 1 (c)- Montrer que |MT (x) − MT (y)| ≤ ||x − y||∞ . (d)- En déduire que |M (x) − M (y)| ≤ ||x − y||∞ . On dira que les fonctions MT et M sont lipchitziennes pour la norme ||.||∞ (e)- Pour tout τ ∈ R, on dénit la fonction xτ par : xτ (t) =x(t − τ ). 1 0 1 T (e-1) Montrer que MT (xτ ) = MT (x) + T −τ x(s)ds + T T −τ x(s)ds. Indication : utiliser le changement de variable s = t − τ , puis la relation de Chasles. 1 0 (e-2) Vérier que lim T −τ x(s)ds = 0.
T →+∞

Étude préliminaire.

(e-3) Montrer que lim

(e-4) Montrer que xτ est moyennable et que M (x) = M (xτ ). (f)- Montrer que pour tout n ≥ 2, toutes fonctions x1 , x2 , . . ., xn moyennables et tous complexes α1 , α2 , . . . , αn alors
n n

1 T →+∞ T

T −τ T

x(s)ds = 0.

αk xk est moyennable et on a :
n

k=1

M
k=1

αk xk

=
k=1

αk M (xk ).

2.

Un premier exemple. Pour tout réel ω , on dénit la fonction e (a) Dérivées nèmes de e .
ω

ω

: t → eiωt .

(a-1) Dire pourquoi la fonction eω est de classe C ∞ sur R ? (a-2) Montrer parrécurrence que pour tout n ∈ N et tout réel t, on a :
e(n) (t) = (iω)n eiωt . ω

(a-3) (a-4) (a-5) (a-6) (a-7) (b)

Moyenne de e .
ω

Préciser les valeurs de e(2n) (t) et e(2n+1) (t), pour tout n ∈ N et tout réel t. ω ω En déduire les dérivées d'ordre 2n et 2n + 1 de la fonction sin. En déduire les dérivées d'ordre 2n et 2n + 1 de la fonction cos. Rappeler la formule de Leibniz. Calculer ladérivée d'ordre n de la fonction f : t → t2 eω (t).

(b-1) Montrer que si ω est non nul, alors :
2e i(1 − eiωT ) = MT (eω ) = ωT
iωT 2

sin( ωT ) 2 . ωT

(b-2) Montrer que si ω est non nul, alors eω est moyennable et que M (eω ) = 0. (b-3) Déterminer MT (sin) et MT (cos). (b-4) En déduire que sin et cos sont moyennables et donner M (sin) et M (cos). (b-5) Montrer que e0 est moyennable et...
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