Racine carrée
A- Définition
La racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté
2

 x dont le carré est égal à x.

Ainsi, pour tout réel positif x,   x  = x et  x≥0 . Attention : les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée, en effet leur carré est positif. Les nombres dont la racine carrée est un entier sont les carrés parfaits; il est utile de les reconnaître immédiatement : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, etc... En général on ne peut écrire que des valeurs approchées des racines carrées sous forme décimale. Ainsi :  2≈1, 414 ;  3≈1, 732 ;  5≈2, 236

B- Racines carrées et opérations
1- Propriété préliminaire
Deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux. Démonstration Soient a et b deux réels positifs tels que a² = b². On a alors a² – b² = 0, soit (a + b)(a – b) = 0. D'où les deux possibilités : – soit a + b = 0 et a = -b ce qui est impossible si a et b sont positifs – soit a – b = 0 et a = b.

2- Propriétés
Soient a et b deux réels positifs. Comparons  ab et  a×  b . On a :   ab2 =ab en appliquant la définition des racines carrées, et
2 2 2

  a×  b =  a ×  b =ab On en déduit que :  ab=  a×  b . La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le produit des racines carrées de ces nombres. On démontre qu'il en va de même pour les quotients. a a Si a et b sont deux nombres positifs avec b≠0, alors . = b b Attention Il n'y a pas de propriétés similaires pour l'addition et la soustraction. Le carré de  ab est a + b. Par contre le carré de  a  b est   a  b 2=  a 22  a  b  b  2=ab2  ab Comme les expressions  ab et  a  b n'ont en général pas le même carré, elles ne sont pas égales.



3- Utilisation des carrés parfaits
Si a et b sont deux nombres positifs, on a l'égalité
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 a2 b=a  b .

En effet,  a 2 b=  a 2  b=a  b Cette égalité permet de transformer certaines racines carrées et parfois de les ajouter ou de les