Accroissement naturel

sur l'ensemble de la population féminine en âge de procréer. -solde naturel: différence entre le nombre de naissance et le nombre de décès. -solde migratoire: différence entre le nombre de personnes qui sont entrées sur le territoire et le nombre de personnes qui en sont sorties au cours de l'année. Ce concept est indépendant de la nationalité. La situation en France 828 000 naissances et 545 000 décès par an. Solde naturel:283 000 personnes Une importante fécondité La population a augmenté

la production agricole pour expliquer ce décalage entre les ressources et la population.   Notons cependant que Malthus écrit dans la période même où la transition démographique est à son point culminant en Angleterre, c’est-à-dire avec un accroissement naturel considérable. Pour lui, la seule solution radicale reste la contrainte morale, c’est-à-dire l’abstinence et la chasteté, puisqu’il faut à tout prix limiter la croissance démographique, pour éviter qu’elle ne dépasse les potentialités de la

suivantes : a) f : x −→ xn−1 . ln (x) b) f : x −→ 3x d) f : x −→ ex √ 2 cos (x) e) f : x −→ 1+x 1−x c) g : x −→ f (ax + b) où f est une fonction de classe C∞ f) f : x −→ (ax + b) .eλx - a, b, λ sont des réels fixés- Exercice 10 Soit n un entier naturel. Soit f : x −→ xn (x + 1)n . Calculer la dérivée ne`me de f , en déduire n k=0 n 2 . k Exercice 11 Soit f la fonction définie sur − π2 , π2 par f (x) = tan (x). Montrer que ∀n ∈ N∗ , f est de classe C n sur − π2 , π2 et que f (n) (x) = (1 + tan2

[000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction Vidéo Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = 1 − t2 n (n) [000717] est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2 + β x + γ

définie sur IR+ par : hx=f-11+1xh0=-2 ;x>0 1/ Montrer que h est continue sur IR+ . 2/ Montrer que h est dérivable sur IR*+ et que ∀ x>0 on a : h'x=2π(1+x2) 3/ a- Soit a>0 Montrer que, en utilisant le théorème des accroissements finis qu’il existe un réel c∈0, a : ha+2a=2π(1+c2) b- En déduire que h est dérivable en 0 + . c- Dresser le tableau de variation de h et construire sa courbe représentative. Exercice 11 : Le plan est orienté à un repère

4. Il résulte alors des données que pour tout x dans [0,8 ; 1], on a (0,5 ( h'(x) ( 0, et donc (h'( ( 0,5 sur [0,8 ; 1] . ( appartient à [0,8 ; 1] et, pour tout n, un appartient à [0,8 ; 1] : tout est en place pour utiliser la formule des accroissements finis pour obtenir (un+1 ( (( ( 0,5 (un ( ((. La récurrence habituelle donne (un ( (( ( 0,2 (0,5)n. ((u0 ( (( = (1 ( (( ( 0,2 est clair vu la taille de l'intervalle [0,8 ; 1] ). 5. La limite de (0,5)n est 0 car 0 < 0,5 < 1, la limite de un

[correction] Soit f : [a, b] → R dérivable vérifiant Exercice 41 [ 01384 ] [correction] A l’aide du théorème des accroissements finis déterminer f (a) = f (b) = 0 et f (a) > 0, f (b) > 0 1 lim x→+∞ Montrer qu’il existe c1 , c2 , c3 ∈ ]a, b[ tels que c1 < c2 < c3 et f (c1 ) = f (c2 ) = f (c3 ) = 0 Exercice 42 [ 00267 ] [correction] Montrer à l’aide du théorème des accroissements finis que √ Exercice 37 [ 03436 ] [correction] Soit f : [a, b] → R de classe C 2 vérifiant f (a) = f (a) et f (b)

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer

intermédiaires 55 Cas particulier important 56 Exemples 57 Méthode de dichotomie pour approcher une solution réelle de l’équation f(x) = 0 58 Théorème de Rolle 59 Mise en garde 60 Généralisation : Théorème des accroissements finis 61 Corollaire : Inégalité des accroissements finis 62 Exercice 63 Règle de L’Hôpital 64 Exemples 65 Mise en garde 66 Théorème de la bijection 67 Conséquence sur le théorème des valeurs intermédiaires 68 Quelques bijections : Fonctions circulaires inverses

[000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction [000717] Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = Indication Correction 1 − t2 n (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. [000715] Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2 + β x