limites

8532 mots 35 pages
Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis

I Limites Continuités
Exercice 1 :
Soit

]

[

la fonction définie par :
( )



Déterminer les limites de , si elle existent, en
Allez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Soit


.

et en

la fonction définie par
( )

Montrer que admet une limite en
Allez à : Correction exercice 2 :

(

)

et déterminer cette limite.

Exercice 3 :
Déterminer les limites suivantes
)





)



)
(

)


( )

)

( )

Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
Calculer
( ( ))
Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Calculer, si elles existent les limites
( (√ ))

(


Allez à : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Soit

définie par
( )

( )

Déterminer l’ensemble des points où elle est continue.
Allez à : Correction exercice 6 :

1



)

Exercice 7 :
Calculer si elles existent
1.
(

)

2.

Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
Soit

l’application définie, pour tout
, par :
( )
(
)
[ ] tel que ( )
1. Montrer qu’il existe
.
2. Montrer que est strictement croissante sur
, en déduire que
Allez à : Correction exercice 8 :

est unique.

Exercice 9 :
[ par ( )
Soit la fonction définie sur [
, avec
.
1. Montrer qu’il existe un unique tel que ( )
( )
2. Montrer que
.
3. En déduire que la suite ( ) est décroissante et quelle converge vers une limite .
4. Déterminer .
Allez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Soit

. Soit

une fonction définie sur [

] par :

( )
[ ] telle que ( )
Montrer qu’il existe un unique
.
( )
Montrer que pour tout
,
,
En déduire que ( ) est monotone et qu’elle converge vers une limite .
Supposons qu’il existe tel que pour tout
a. Calculer la limite de lorsque tend vers l’infini.
b. Montrer qu’il y a une contradiction et en déduire la limite de ( )
Allez à :

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