limites

Pages: 35 (8532 mots) Publié le: 5 février 2014
Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires,
dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis

I Limites Continuités
Exercice 1 :
Soit

]

[

la fonction définie par :
( )



Déterminer les limites de , si elle existent, en
Allez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Soit


.

et en

la fonction définie par
( )

Montrer que admet unelimite en
Allez à : Correction exercice 2 :

(

)

et déterminer cette limite.

Exercice 3 :
Déterminer les limites suivantes
)





)



)
(

)


( )

)

( )

Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
Calculer
( ( ))
Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Calculer, si elles existent les limites
( (√ ))

(


Allez à : Correction exercice 5:
Exercice 6 :
Soit

définie par
( )

( )

Déterminer l’ensemble des points où elle est continue.
Allez à : Correction exercice 6 :

1



)

Exercice 7 :
Calculer si elles existent
1.
(

)

2.

Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
Soit

l’application définie, pour tout
, par :
( )
(
)
[ ] tel que ( )
1. Montrer qu’il existe
.
2. Montrer que eststrictement croissante sur
, en déduire que
Allez à : Correction exercice 8 :

est unique.

Exercice 9 :
[ par ( )
Soit la fonction définie sur [
, avec
.
1. Montrer qu’il existe un unique
tel que ( )
( )
2. Montrer que
.
3. En déduire que la suite ( ) est décroissante et quelle converge vers une limite .
4. Déterminer .
Allez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Soit

.Soit

une fonction définie sur [

] par :

( )
[ ] telle que ( )
Montrer qu’il existe un unique
.
( )
Montrer que pour tout
,
,
En déduire que ( )
est monotone et qu’elle converge vers une limite .
Supposons qu’il existe
tel que pour tout
a. Calculer la limite de
lorsque tend vers l’infini.
b. Montrer qu’il y a une contradiction et en déduire la limite de ( )
Allez à :Correction exercice 10 :
1.
2.
3.
4.

Exercice 11 :
1. Soient et des nombres réels tels que
) [
a) On suppose que pour tout (

et
[

]

une application de [
] on a :
( )| |
|

| ( )
Montrer que est continue sur [ ].
[
], tel que ( )
En déduire qu’il existe
.
) [
] [ ]
b) On suppose maintenant que pour tout (
| ( )
( )| |
|
[
], tel que ( )
Montrer qu’il existe un unique2. On désigne par l’application de [ ] dans , définie pour tout
( )
(
)
a) On pose
2

] dans [

on a :

[

] par :

]

[

| ( )|

]

Montrer que
.
b) En déduire, en montrant que ([ ]) [ ], qu’il existe un unique
On notera ̃ cet élément.
c) Montrer que l’application est injective.
On définit la suite ( )
de nombres réels par la donnée de :
[ ]
( )
d) Montrer que sĩ, alors pour tout
,
̃.
e) On suppose que
̃. Montrer que pour tout
|
̃|
|
̃|
[ ], la suite ( )
f) En déduire que pour tout
converge vers ̃.
( )
( )
On donne
et
.
Allez à : Correction exercice 11 :

[

] tel que ( )

II Continuité dérivabilité
Exercice 12 :
Les fonctions

et

définies par :
( )

| |

( )

( )

(√| |)

Sont-elles dérivables en ?
Allez à :Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes et calculer la dérivée lorsqu’elle existe :
( )
( ( )) si
1.
( )
(
) si
2.
3.

( )

{

( )
Allez à : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
Soit et

deux nombres réels. On définit la fonction

par

{
1. Donner une condition sur pour que soit continue sur .
2. Déterminer et tels que soitdérivable sur et dans ce cas calculer
Allez à : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
Soit la fonction définie sur ]

[ par
( )

1. Montrer que est continue sur [

( )

{
].
3

( ).

.

2. Montrer qu’il existe
Allez à : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
Soit ]

[

]

[ telle que

( )

. (on ne demande pas la valeur de ).

l’application définie par
( )...
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