Axiome

Heisenberg. Dans les années 20, les physiciens ont introduit la troisième valeur ½ dans le système logique bivalant {0,1}. Pourquoi ? parce-que c’est la valeur de vérité de tous les paradoxes. La logique classique interdit tous les paradoxes par axiomes Exemple 1.1 Prenons un paradoxe connu, celui de Russel. Il dit : le barbier rase uniquement les hommes qui ne se rasent pas eux même et seulement ceux-ci. Qui rase donc , le barbier ? Soit S la proposition que le barbier se rase lui-même,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Rappels de Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axiomes du calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) λ · (x1 , . . . , xn ) = (λ · x1 , . . . , λ · xn ). Alors (E1 × . . . × En , +, ·) est un K-espace vectoriel. Ici, 0E1 ×...×En = (0E1 , . . . , 0En ). Démonstration Montrons seulement quelques-uns des axiomes de la définition. • Nous savons déjà que (E1 × . . . × En , +) est un groupe commutatif en tant que groupe produit. • Pour tout (x1 , . . . , xn ) ∈ E1 × . . . × En : 1 · (x1 , . . . , xn ) = (1 · x1 , . . . , 1 · xn ) = (x1 , . . . , xn ).

permet de former des jugements vrais démontrés. Peut-on alors tout démontrer logiquement? On tombe sur le problème du point de départ. En mathématique et en logique, avant de raisonner, on se donne d'une part des définitions et d'autre part des axiomes, c'est-à-dire des jugements supposés vrais mais qu'on ne peut pas démontrer car ils seront les outils de la démonstration. Par exemple, personne ne peut démonter que « étant donné une droite d et un point A, il n'existe qu'une seule parallèle à la

également un entier naturel. – Toute propriété possédée par 0 et possédée par n + 1 dès que n la possède, est possédée par tous les entiers naturels. (Principe de récurrence.) C’est là, en l’essence, la définition des entiers naturels selon Peano (axiomes de Peano). On appellera « finie » une quantité (positive)1 qui est inférieure à un certain entier naturel, et, a contrario, « infinie » une quantité qui est supérieure à tous les entiers naturels (reste à voir ce que cela veut dire). Notons que « fini

ensemble et soit A une partie de P(Ω). A a une structure de tribu si il satisfait aux trois axiomes: 1. Si A ∈ A, alors son complémentaire Ac = Ω \ A est aussi dans A. 2. Si on a une suite finie ou dénombrable A1 , . . . ,An , . . . d’éléments de A, alors leur réunion n≥1 An est aussi dans A. 3. L’ensemble vide ∅ est dans A. Un élément de A est appelé un événement. Tirons quelques conséquences de ces axiomes. Proposition 1.1 Soit A une tribu de parties de l’ensemble Ω. Alors Ω ∈ A. De plus, si on a

plus influent de la théorie classique à coté de A.Smith et de R.Malthus. Le point de départ de sa théorie sur le commerce international et le libre échange se retrouve dans Principe de l'économie politique et de l'impôt publié en 1817. Il pose comme axiome premier la mobilité des facteurs de production (capital et travail) au niveau interne de la nation, et l'immobilité de ceux si au niveau des autres nations. Sa théorie est celle des coûts comparatif: pour lui 2 pays ont intérêt à échanger des produits

canonique et s la surjection canonique de E sur E/Rf . – Partitionner E = i∈I ωi où (ωi )i∈I est la famille canoniquement associée à E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout

Nous utilisons encore l'ensemble Ω formé des sept points précédents; une hiérarchie associée H associée peut être: On a bien H= avec hi={wi} pour i=1,7 ,...h11 = {w7} ∪h10 et h12= h11∪h9. On vérifie facilement que H satisfait bien aux trois axiomes de la définition d'une hiérarchie. Exercice Début chapitre Introduction Les éléments d'une classification Notion d'inertie Formalisation de la notion d'espace de classification II Notion d'inertie En présentant la construction d'un tableau nous

n  IN par : Pn : Un = 2 – 1 Supposons cette propriété vrai pour un certain entier n . n n+1 On a alors Un+1 = 2 Un + 1 = 2(2 – 1) + 1 = 2 – 1 càd Pn + 1. P est héréditaire et comme elle est initialisée elle est finalement vrai pour tout n  0 Axiome : (Propriété admise au départ d’une théorie) Soit Pn une propriété dépendant de n  IN. 1ère étape : on démontre que la propriété est vraie pour n = 0 ou n = 1 (respectivement pour n 0) 2ème étape : on suppose la propriété vraie au rang n 3ème étape