Blanc Polaire

d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er + zez y = r sin θ z −−→ d O M = dr er + r dθ eθ + dzez M (r, θ,z) ez −−→ (d O M)2 = dr 2 + (r dθ)2 + dz 2 y O −−→2 O M = r 2 + z2 x x θ r eθ H er y 01•Chapitre 1 30/08/06

Elhouichet hafedh Devoir de synthèse n°2 Classe : 3SC1+2 Durée : 2 heures Exercice 1 : (4 points) Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée. 13 1) Pour tout réel x, on a :cos(x + ) = sin x 2 2) Si A (1, 3 ) alors les coordonnées polaires de A sont :(2,  ) 3 2 et - 2 3) Les solutions dans C de l’équation z2 +2 = 0 sont 4) La forme cartésienne du nombre complexe z = 3 + i(4+i) est 2 + 4i 5) Soit f une fonction définie sur un domaine D tel que pour tout x appartenant à D , 4 –

une densité de probabilité. Elle est positive et de plus : Z +1 x2 1 p e 2 dx = 1 2 1 R +1 R +1 1 2 2 En e¤et, considérons l’intégrale double 1 1 e 2 (x +y ) dxdy. Par ailleurs, en utilisant le changement des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, on a : Z +1 Z +1 Z 2 Z +1 1 1 2 2 +y 2 x ( ) e 2 d e 2 d =2 dxdy = 1 1 0 De plus, en utilisant Fubini, on a : Z Z +1 Z +1 1 x2 +y 2 ) ( 2 e dxdy = 1 1 En posant I = 1.1.2 R +1 1 e 1 2 x 2 +1 e 0 1 2 x 2 Z dx 1 +1 e 1 2 y 2 dy

thermosphère est la dernière couche de notre atmosphère et sa limite est assez floue. Sa température augmente avec l’altitude et varie en fonction du jour et de la nuit. Climat zonaux correspondent aux latitudes : zones intertropicales, tempérée et polaires. Climat azonal est une région ou local. (climat de montagnes, climat désertique,..) 1. Températures. a. Au niveau zonal la répartition des températures dépend de la latitude et des saisons : hauteur du soleil et nombre d’heures de soleil/jour

f (x, y, z)dxdydz = D zdz K 0 R2 ; x2 y2 où K est le domaine K = (x, y) ∈ + < polaires : 2π dxdy = dθ x2 + y 2 K 0 a2 dxdy , x2 + y 2 . On a par passage en coordonnées a dr = 2πa. 0 On en déduit : f (x, y, z)dxdydz = 2πa. D http://www.bibmath.net 4 Exercices - Intégrales multiples : corrigé Changements de variables Exercice 7 - Coordonnées polaires - Deuxième année On passe en coordonnées polaires en posant x = r cos θ et y = r sin θ. Remarquons que : (x, y) ∈ ∆ ⇐⇒ 0 ≤ r ≤ 1 et θ

Californie, le Chili, les pays autour de la Méditerranée, le sud de l’Australie) Dans la zone froide se trouve le climat polaire : les températures sont les plus froides de la Terre, elles peuvent atteindre '' 90°C dans l’Antarctique ! Enfin il existe deux types de climats à part : le climat montagnard qui se trouve dans les zones de montagne et qui ressemble au climat polaire quand on monte en altitude, et le climat désertique qui est marquée par un manque de précipitations et d’une chaleur extrême

| III ' Repérage polaire Tout point du plan peut être repéré par un couple de réel [pic] tels que [pic] et [pic] On dit que [pic] est le rayon polaire et le réel [pic] est un angle polaire. Les coordonnées du point polaire se notent entre crochets : [pic] On considère un point [pic] de coordonnées polaires [pic] Les coordonnées cartésiennes de [pic] sont [pic] et [pic] Si un point [pic] a pour coordonnées cartésiennes [pic] alors[pic] Pour avoir un angle polaire, on utilise [pic] et

∂ F . ∂x2 ∂y 2 b) Exprimer ∂F ∂ρ Exercice 32 En passant en coordonnées polaires, résoudre sur R2 \ {(0, 0)} l'équation aux dérivées partielles ∂f ∂f y −x =0 ∂x ∂y [ 01766 ] Exercice 36 [ 01773 ] (M ) et ∂F ∂θ (M ) en fonction de ∂ F ∂ρ2 2 c) Exprimer ∆F en fonction de , ∂F ∂ρ et ∂F ∂x (M ) 2 ∂ F ∂θ 2 . et ∂F ∂y (M ) Exercice 33 En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctions f : R+ × R → R de classe C 1 solutions de l'équation

terre en baignant d'une pâle lueur irréelle la lande neigeuse." La lumière des aurores boréales est l'un des spectacles les plus grandioses que l'on puisse admirer. Des arcs et des bandes violet et bleu chatoyants sillonnent l'obscurité de la nuit polaire, des raies d'un vert éclatant, dont la pointe rouge étincelle, strient le ciel. Des pans de matières blanches aux formes complexes se meuvent et se mélangent plusieurs fois par minute. Enfin des taches de lumière, animées de vibrations, offrent un

1- POSITIONNEMENT D'UN POINT OU D'UN SOLIDE 11- Position d'un point • Dans le plan: 2 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées polaires : avec • Dans l'espace: 3 paramètres coordonnées cartésiennes : coordonnées cylindriques : avec coordonnées sphériques : avec et 12- Position d'un solide • Dans le plan: 3 paramètres, deux pour préciser la position d'un point particulier du solide et un paramètre de rotation • Dans l'espace: 6 paramètres;