Ensemble des parties d'un ensemble

la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 1 Logique et ensembles Sommaire 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Rudiments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Propositions, démonstrations, etc. . . . . . . . . . 1.1.2 Ensembles, éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Propriétés portant sur les éléments d’un ensemble 1.1.4 Opérations sur les propositions . . . . . . . . . . . 1.1.5 Quantificateurs . . . . . . . . . . .

| n! est le produit : 1 × 2 × ... × n. | 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 | | | Factorielle (de) n. | | | | | Combinatoire | | | | ~ | Relation d'équivalence | | | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Théorie des ensembles | | | | | Équivalence | an ~ bn signifie que les suites an et bn sont équivalentes | sin(1/n) ~ 1/n (lorsque n tend vers l'infini) | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Analyse | | | | | Distribution de probabilité |

INDICATEURS ET LA METHODOLOGIE TBE Fianarantsoa, 15 avril 2005 Agir ensemble pour un environnement de qualité Définition Un indicateur est une variable ou une valeur calculée à partir de variables, donnant des indications sur ou décrivant l’état d’un phénomène, de l’environnement ou d’une zone géographique, d’une portée supérieure aux informations directement liées à la valeur d’une variable (OCDE, 1993). Agir ensemble pour un environnement de qualité Définition Un indicateur doit

représentation adaptée (ensembles, arbres, tableaux, diagrammes) dans le cadre d’un problème de dénombrement. — Démontrer la relation n∑ k=0 ( n k ) = 2n. — Démontrer la relation de Pascal. 1 - Vocabulaire des ensembles Définitions : L’intersection entre deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B. On le note A ∩B. La réunion entre deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B. On le note A ∪B. Définition : On dit qu’un ensemble non vide E est

| n! est le produit : 1 × 2 × ... × n. | 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 | | | Factorielle (de) n. | | | | | Combinatoire | | | | ~ | Relation d'équivalence | | | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Théorie des ensembles | | | | | Équivalence | an ~ bn signifie que les suites an et bnsont équivalentes | sin(1/n) ~ 1/n (lorsque n tend vers l'infini) | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Analyse | | | | | Distribution de probabilité | X

Chapitre 1 Ensembles 1.1 Définitions, Exemples Définition On appelle ensemble toute collection d’objets bien déterminés dans laquelle les objets sont uniques. Ces objets s’appellent éléments de l’ensemble, ou les points de l’ensemble. Si x est un point d’un ensemble A, on écrit x ∈ A et on lit x appartient à A. Si x n’est pas un point de A, on écrit x ∈ A. Un ensemble peut être fini ou non, peut être concrêt ou imaginaire. Exemples −0, 1, 2, 3, · · · les entiers naturels forment un ensemble qui est

: Première partie d'une chose qui a une étendue dans la durée (le temps cf. chronologie) ou l'espace. Nature : . Partie de son environnement que l'homme n'a pas créé. . Tout ce qui existe moins ce que l'homme à rajouté i.e artificiel. . C'est l'essens qui permet de qualifier une chose ou un être c.f nature humaine. Culture : . Partie de son environnement que l'homme a crée lui même c.f ensemble matériel et spirituel. . Ensemble des connaissances

Eléments de logique Exercice 1 Décrire les parties de ℝ dans lesquelles évoluent x pour que les assertions suivantes soient vraies : a) (x > 0 et x < 1) ou x = 0 b) x > 3 et x < 5 et x ≠ 4 c) (x ≤ 0 et x > 1) ou x = 4 Exercice 2 d) x ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 . Etant donnés P , Q et R trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité : a) P ou (Q et R ) ∼ (P ou Q ) et (P ou R ) b) non(P ⇒ Q ) ∼ P et non(Q ) . Exercice 3 On dispose de neuf billes visuellement identiques, huit d’entre elles ont

´matiques Cours de Mathe Ensembles, applications, relations Table des mati` eres I II III IV Page 1 Un peu de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Op´erations sur les assertions . . . . . . . . . . . . I.3 Tableaux de v´erit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Quelques synonymies classiques . . . . . . . . . . I.5 Conditions n´ecessaires et/ou suffisantes . . . . . . I.6 Pr´edicats

le rôle essentiel des mathématiques là où on ne le soupçonne pas toujours ! 4 LE PLAN DU COURS Bases de logique, théorie des ensembles Rappels… 5 2 ou 3 évaluations en TD Note de TD Examen final en janvier 2012 Note d’examen 6 7 8 9 BASES DE LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Opérations logiques  Ensembles et parties d’un ensemble ; quantificateurs  Apprendre à raisonner par l’absurde  Raisonner par contraposition  Compter, calculer, ordonner, raisonner par récurrence