Équation de Laplace

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Les polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Les polynômes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Polynômes orthogonaux et équations différentielles . . . . . . . . . . . . . 107 Fonctions harmoniques et polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 109 III Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 III.1 III.2 III.3 Le

définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]  ;0[ . On appelle g la fonction causale telle que g "(t )  4 g (t )  e(t ) . Et vérifiant : g (0)  0 et g '(0)  0 . On note G( p) la transformée de Laplace de la fonction g et E ( p) la transformée de Laplace de la fonction e . 1. Exprimer E ( p) en fonction de p et de  . 2. En déduire que : 8 G ( p)  2 2 1  e p . p ( p  4) 3. Déterminer les constantes réelles A et B telles que : 8 A B .  2 2 2 2 p ( p  4) p p 4 8 4

incertain ........................................................................................81 5.8 Méthodes d'appréciations en avenir incertain...........................................................................83 5.8.1 Le critère de Laplace-Bayes..............................................................................................84 5.8.2 Le critère de Wald .............................................................................................................84 5.8.3 Le

particulier sur les mouvements des corps célestes. Aux approches de la Révolution, toute une génération de philosophes, que l'on a appelé des "géomètres", avec, pour ne citer que la France, Lavoisier, Berthollet, Carnot, Monge, Laplace, ne se sont pas contentés d'observer et mettre en équation la nature, mais ont inauguré une méthode scientifique rigoureusement expérimentale guidée par la raison. Il ne s'agit pas du passage de quelque science pure à quelque science appliquée. Prenons l'exemple de Lazare Carnot

Notes de cours Hydraulique à surface libre Phénomènes de propagation : ondes et ruptures de barrage Bases mathématiques, outils de simulations, applications version 2.4 du 15 mai 2010 TABLE DES MATIÈRES 1 Table des matières 1 Équations de conservation 1.1 Théorèmes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 Théorème de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

chaque flux d’air est supposé échangé avec deux flux d’air voisins de sens opposés. Q12. Expliquer, succinctement et sans faire de calcul, comment établir l’équation différentielle (5). Q13. Déduire des équations différentielles (4) et (5) que TFE(x) − TFS (x) = Te/p − T . Q14. Établir une équation différentielle vérifiée uniquement par TFE(x). La résoudre en tenant compte des conditions aux limites. Q15. Montrer finalement que la puissance thermique apportée par le renouvellement de l’air s’écrit

concentration à deux niveaux dans le réacteur : x(t) et y(t). +∞ +∞ Si les deux fonctions sont normées : ∫ x( t )dt = ∫ y( t )dt = 1 0 0 t2 y( t 2 ) = ∫ x( t1 ).E( t 2 − t1 ).dt1 0 Si le système est linéaire, on peut appliquer la transformée de Laplace L(f) à x(t) et y(t) pour obtenir X(s) et Y(s). +∞ L(f ) = ∫ exp( −st ).f ( t ).dt 0 Y(s)= X(s).G(s) G(s) fonction de transfert du système G=L(E) 7 III- MOMENTS Définition du moment µn et du moment centré µ’n d’ordre n de la distribution E(t)

MATIÈRES Table des matières 1 2 3 4 Gaz parfait 1.1 Modèle microscopique du gaz parfait . . . . . . . . . . 1.1.1 La pression cinétique . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Théorème d’équipartition :Température cinétique 1.1.3 Equation d’état :Notion de gaz réel . . . . . . . 1.2 L’énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Capacités calorifiques

scale’s reading. for which bubbles offer an effective window for teaching. In particular, the measurement of the pressure inside a soap bubble is an alternative method to determine the surface tension of a given soap solution, using the Young–Laplace equation [2]. In this kind of experiment, emphasis is put on the interpretation of surface tension in terms of the surface free energy, as opposed to the mechanical concept, based on forces and which is mostly used in elementary physics textbooks [3]

+ ∆G = 2 2 sin2 θ ∂ϕ2 r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r ∂r 2 On remarque que ∂2G ∂2G 2 ∂r 2 + → − → − A (M) · d l = 0 ∀ Γ . 2 ∂G 1 ∂ 2 ∂G 1 ∂2 (r G) = 2 . r = r ∂r r ∂r ∂r r ∂r 2 Équation de Laplace L’équation de Laplace est ∆G = 0 . Les solutions de cette équation, que l’on rencontre fréquemment en physique, sont appelées fonctions harmoniques. Contrairement au gradient, au rotationnel et à la divergence, le laplacien n’a pas d’interprétation physique simple. →