Corrige bts-groupement-a 2010
3112 mots
13 pages
Exercice 1 Dans cet exercice , on se propose d’étudier dans la partie A une perturbation d’un signal continu et dans la partie B , la correction de cette perturbation par un filtre analogique . Partie A Dans cet exercice , on note une constante réelle appartenant à l’intervalle [0; 2 ] et on considère les fonctions f et g , définies sur l’ensemble R des nombres réels , telles que : Pour tout nombre réel t , f (t ) 1 La fonction g est périodique de période 2 et : g (t ) 0 si 0 t g (t ) 1 si t 2 Pour tout nombre réel t , on pose : h(t ) f (t ) g (t ) La fonction h ainsi définie représente la perturbation du signal . 1. les courbes représentatives des fonctions f et g sont tracées sur le document réponse n°1. ( figure 1 et 2 ). Sur la figure 3 du document réponse n°1, tracer la représentation graphique de la fonction h . 2. On admet que la fonction h est périodique de période 2 . Pour tout nombre réel t , on définit la série de Fourier S (t ) associée à la fonction h parS (t ) a0 an cos nt bn sin nt n 1
a) Déterminer a0 . b) Soit n un entier supérieur ou égal à 1 Calculer
0 cos nt dt
1 sin n n c) Montrer que, pour tout nombre n entier supérieur ou égal à 1, 1 bn 1 cos nt . n 3. Soit n un entier supérieur .On associe à n le nombre réel A n tel que :
En déduire que an
A0 a0 An
2 2 an bn si n est un entier supérieur ou égal à 1 2
Montrer que, pour tout nombre n entier supérieur ou égal à 1, on a An On suppose pour toute la suite de l’exercice , que τ =
1 1 cos n . n
π 4 4. Compléter le tableau 1 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à 105 près. 2 1 2 2 5. La valeur efficace heff de la fonction h est telle que : heff h(t ) dt 2 0 2 a) Calculer heff .
b) Calculer une valeur approchée à 10 près du nombre réel P défini par P A2 n
4
n 0 3
P c) Calculer une valeur approchée à 102 près du quotient . 2