Équation de Laplace

programme et vue au bac Nouvelle Calédonie - Mars 2007) Question L’espace est muni d’un repère orthonormal O , i , j , k Etablir une équation cartésienne d’un plan P dont on connaît un vecteur normal n a , b , c M0 x0 , y0 , z0 Solution M x, y, z  P  M0M  n  0  ax  x 0   by  y 0   cz  z 0   0  ax  by  cz  ax 0  by 0  cz 0  0 Donc P a pour équation cartésienne ax  by  cz  ax 0  by 0  cz 0  0 16 et un point  1 . 2 ROC 2   (au programme et vue au bac Antilles

thermique 1.6 Photométrie 1.7 Unités anglo-saxonnes et américaines courantes 1 1 1 3 3 8 10 11 2 • Notions de mathématiques 2.1 Grandeurs complexes 2.2 Signal périodique. Série de Fourier 2.3 Calcul opérationnel 2.4 Erreurs et imprécisions 2.5 Loi de Laplace-Gauss 12 12 17 19 22 26 B MATÉRIAUX ET COMPOSANTS PASSIFS 29 1 • Électron et matériaux. Milieu conducteur et semi-conducteur 1.1 Milieu conducteur et isolant 1.2 Semi-conducteur 1.3 Matériau magnétique 1.4 Conducteur 29 29 30 34 36 2 • Fiabilité

ch où p  Probabilités et Statistiques 1 . n Il est très difficile d'aboutir à une relation "simple" reliant N à n à partir de cette inégalité. Nous allons par conséquent faire une approximation en utilisant le Théorème central limite de Moivre-Laplace qui pour rappel nous dit: Soit X n une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p , 0  p  1 . Notons : n Sn   X i . i 1 Remarque : Sn suit la loi binomiale de paramètres n, p. Alors:  S  np  n Fn

ch où p  Probabilités et Statistiques 1 . n Il est très difficile d'aboutir à une relation "simple" reliant N à n à partir de cette inégalité. Nous allons par conséquent faire une approximation en utilisant le Théorème central limite de Moivre-Laplace qui pour rappel nous dit: Soit X n une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p , 0  p  1 . Notons : n Sn   X i . i 1 Remarque : Sn suit la loi binomiale de paramètres n, p. Alors:  S  np  n Fn

D´eriv´ees et formule de Taylor page 125 15 Int´egration page 135 16 Quelques fonctions usuelles page 144 17 Calcul de primitives page 153 18 Int´egrales impropres page 162 19 Courbes param´etr´ees et d´eveloppements limit´es page 167 20 Equations diff´erentielles page 178 21 Fonctions de plusieurs variables page 189 1 Tous les chapitres sont importants. Le premier chapitre est volontairement bref mais fondamental : il y aura int´erˆet ` a revenir sur les notions de langage math´ematique

coefficients thermoélastiques Pour étudier les gaz réels, on dispose d’un jeu de coefficients qui permettent soit de trouver l’équation d’état régissant le GR à partir de son comportement expérimental soit de prédire le comportement du GR au vu de son équation d’état. Ces coefficients sont au nombre de 3 : • • • 1  ∂V    V  ∂T  P 1  ∂P  β=   P  ∂T V α= χT = − 1  ∂V    V  ∂P T coefficient de dilation isobare coefficient d’augmentation de pression isochore coefficient de compressibilité

Capacités attendues - Rappels sur les nombres complexes - Courbes de Bezier et B-Spline - Matrices : applications à la 3D - Paramétrages des surfaces Maîtriser les concepts énoncés - Résolutions des équations différentielles - Calculs numériques - Transformée de Fourier - Transformée de Laplace Cette partie “Mathématiques appliquées à l’informatique” ne peut pas faire l’objet de questions spécifiques dans le sujet d’examens. Toutefois, les concepts abordés peuvent se retrouver dans les domaines

mathématique, accessible à une personne dépourvue de formation scientifique. C’est ce que j’ai essayé de faire ici et le lecteur jugera si j’ai réussi. On m’a dit que chaque équation incluse dans le livre en diminuerait les ventes de moitié. J’ai donc décidé qu’il n’y en aurait aucune. À la fin, toutefois, j’en ai mis une, la fameuse équation d’Einstein : E = mc². J’espère que cela n’effrayera pas la moitié de mes lecteurs potentiels. J’ai eu la malchance d’être atteint d’une maladie neuro-motrice (maladie

la réponse de ce système à une entrée en échelon. Dans un premier temps, établissons l'équation d'accélération angulaire du balourd. 1) La première étape consiste à calculer la fonction de transfert reliant a à Utilisont la transformée de Laplace sur l'équation d'accélération anglaire. En considérant les conditions initiales nulles, on a : et On en déduit : d'où la relation : Nous pouvons donc écrire la fonction de transfert sous la forme :

compté à partir de la position zéro (position du milieu). A titre indicatif, le diamètre d des buses est de l’ordre de quelques dixièmes de millimètres et l’écart e entre la buse et la palette de l’ordre de quelques centièmes de millimètres. a) Equation du moteur couple (voir Figure 12) A l’état repos, et . Le courant traversant les bobines génère un couple moteur : . Deux ressorts, de coefficient de raideur k1, exercent un couple résistant . Figure 12 : moteur couple Question