Équation différentielle linéaire

Cours “Calcul Différentiel et Intégral I” Wolfgang Bertram 8 décembre 2006 ii Introduction Introduction Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs variables, f : Rn → Rm , ou, plus généralement f : V → W , où V et W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions

. . . . . . . . 2.2.2 Aire de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Équations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Équations différentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Avec second membre . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 2.2.2 Aire de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Équations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Équations différentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Avec second membre . . . . . . . . . .

CHAPITRE 1 • NOTIONS DE BASE SUR LES CIRCUITS 1.1 1.2 1.3 Grandeurs électriques Formes d’ondes et signaux électriques Relation tension-courant 1 1 5 18 30 44 44 47 49 52 61 72 76 100 100 107 116 127 133 EXERCICES CHAPITRE 2 • LES RÉSEAUX LINÉAIRES EN RÉGIME STATIQUE 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Définitions Lois de Kirchhoff Associations de dipôles Principaux théorèmes Méthodes d’analyse Puissance et énergie EXERCICES CHAPITRE 3 • ANALYSE HARMONIQUE 3.1 3.2 3.3 3.4 Représentation d’un signal

David Hilbert, mathématicien allemand. Au cours du xviiie siècle et du xixe siècle, les mathématiques connaissent de forts développements avec l'étude systématique des structures, à commencer par les groupesissus des travaux de Galois sur les équations polynomiales, et les anneaux introduits parDedekind. Le xixe siècle voit avec Cantor, Hilbert le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche desfondements mathématiques7. Ce développement de l'axiomatique

périodique et sa période. Définir pour une onde progressive sinusoïdale, la période, la fréquence, la longueur d’onde. Connaître et utiliser la relation λ =v T, connaître la signification et l’unité de chaque terme, savoir justifier cette relation par une équation aux dimensions. Savoir, pour une longueur d’onde donnée, que le phénomène de diffraction est d’autant plus marqué que la dimension d’une ouverture ou d’un obstacle est plus petite. Définir un milieu dispersif. Exploiter un document expérimental (série

ce cas, on peut utiliser des méthodes de descente (si la fonction objectif est différentiable), par exemple basée sur le gradient, que nous développerons en Section 2, ou des méthodes telles que la méthode du simplexe (si la fonction objectif est linéaire) ou de recherches de motifs (si la fonction objectif n’est pas différentiable). À noter que dans le cas d’une fonction objectif prenant des valeurs discrètes, les méthodes sont tout à fait différentes et constituent le domaine de l’optimisation

Ma11 - Fondamentaux d’algèbre et de trigonométrie.................................................18 Ma12 - Fondamentaux d’Analyse..............................................................................19 Ma21 - Calcul intégral et équations différentielles.....................................................20 Ma22 - Éléments de mathématiques appliquées.........................................................21 Ma31 - Outils mathématiques pour l’Analyse de Fourier..........................

Fondamentaux d’algèbre et de trigonométrie ....................................................14 M2 : Fondamentaux d’analyse ..................................................................................15 M3 : Calcul intégral et équations différentielles ........................................................16 M4 : Eléments de mathématiques appliquées ............................................................17 M5 : Outils mathématiques pour l’analyse de Fourier....................

des matières CHAPITRE 1 • NOTIONS DE BASE SUR LES CIRCUITS 1 1.1 Grandeurs électriques 1 1.2 Formes d’ondes et signaux électriques 5 1.3 Relation tension-courant 18 EXERCICES 30 CHAPITRE 2 • LES RÉSEAUX LINÉAIRES EN RÉGIME STATIQUE 44 2.1 Définitions 44 2.2 Lois de Kirchhoff 47 2.3 Associations de dipôles 49 2.4 Principaux théorèmes 52 2.5 Méthodes d’analyse 61 2.6 Puissance et énergie 72 EXERCICES