Euclide

comme ce sont toujours les mêmes mots, ils conservent leur clarté. On a donc tort de faire aux poètes un crime de ces licences, et de les tourner en ridicule sur cet objet. Il est bien aisé, disait Euclide l'ancien, de faire des vers, lorsqu'on se permet d'étendre et de changer les syllabes. Euclide lui-même a fait l'un et l'autre, même dans la prose. La chose serait ridicule, sans doute, si cela se faisait comme dans les exemples qu'on propose. Mais il y a des bornes ici comme partout. Qui hérisserait

restreignons à une partie de la surface de la sphère qui ne contienne pas de points diamétralement opposés comme le sont les pôles. » Rudolf Carnap, Les Fondements philosophiques de la physique, Armand Colin, 1973, p. 131–133 L’espace euclidien, dont Euclide, au IVe siècle avant notre ère, proposa la géométrie, est celui dans lequel biologiquement notre espèce vit. Cette proposition est déjà un peu inexacte : notre façon de saisir l’espace n’est pas ma- 132 Sujet 09 Sommes-nous seuls à habiter

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plupart des écoles grecques de philosophie morale puisèrent leur source dans les leçons de Socrate. Quatre d’entre elles furent créées par ses disciples immédiats : l’école des cyniques, l’école des cyrénaïques, l’école des mégariques (fondée par Euclide de Mégare) et les platoniciens. Les cyniques, en particulier le philosophe Antisthène, considéraient que le souverain bien est la totale indépendance à l’égard des choses extérieures, que la maîtrise de soi représente la seule valeur irréductible

cauchy, donc qu’elle e converge car E est complet. Sa limite l est dans ∩n∈N On car pour tout n ∈ N, l ∈ B(xn , rn /2) ⊂ B(xn , rn ). 3 L’axiome du choix On ne peut rien d´montrer si on ne part pas d’une hypoth`se de d´part; depuis e e e Euclide, les math´maticiens utilisent tous plus ou moins une m´thode axiomae e tique, c’est ` dire qu’il partent d’un ensemble d’axiomes qu’ils jugent intuitivea ment ´vident et se donnent ensuite un ensemble de r`gles de d´monstration e e e (les logiciens

p. 484) raconte : « Je n’ai rien à dire des éléments de géométrie, si ce n’est que Pascal, qui les avait lus en manuscrit, les jugea si clairs et si bien ordonnés, qu’il jeta au feu, dit-on, un essai d’éléments qu’il avait fait lui-même d’après Euclide, et qu’Arnauld avait jugé confus ; c’est même ce qui avait d’abord donné à Arnauld l’idée de composer son essai : Pascal le défia en riant de faire mieux, et le docteur, à son premier loisir, tint et gagna la gageure. » À douze ans (1635), il commence

au problème de l’infini dans l’espace, on peut constater que « de Zénon à Bergson, [une longue lignée de philosophes] ont basé une grande part de leur métaphysique sur la prétendue impossibilité de collections infinies. »9 Pourtant, on sait depuis Euclide et sa géométrie que des nombres expriment des grandeurs dites « incommensurables » (les nombres irrationnels, formalisant une idée qui fut fatale à la philosophie des pythagoriciens pour laquelle tout, dans le monde, était nombre – entier). Certains

reste dépendante, quant à sa véracité, de l’expérimentation et de l’observation. Si la théorie est œuvre de l’esprit, la preuve doit venir des faits. A l’inverse, ce qui fait le succès de la géométrie, c’est la méthode axiomatique utilisée depuis Euclide, méthode par laquelle on peut démontrer des théorèmes en utilisant uniquement la logique et des axiomes de base. Un exemple célèbre est le fameux : Par deux points, on ne peut mener qu’une droite. Ce qui est remarquable, c’est que dans

en Italie et dans le nord de l'Europe Vasari invente le terme de renaissance, le moyen âge est une période très obscur, ce n'est qu’à partir du 15 que les sources grec et latine seront les point d'appuyée. On se réinterrese de nouveau a Platon, Euclide, à cette époque l'Italie devient le centre artistique de l’Europe, nouvelle idée qui apparait dans les mentalités, idée de progrès, ou l'humanité se développe. Rivalité très intense entre l’artiste, Rafael refait le mariage de la vierge d'après le

il passe une unique parallèle au côté opposé. Cette idée était si évidente que nous nous sommes à peine aperçus que nous la supposions. C’est pourtant là un principe mathématique indémontrable. Ce principe était bien connu des géomètres, depuis Euclide qui en avait fait le cinquième postulat de son système. --- Un postulat est une « demande », c’est-à-dire un principe que l’on pose au départ et que l’on demande au lecteur d’accepter. Au XIXe siècle, le mathématicien Lobatchevski décida de le démontrer