Fonction hyperbolique

CONCOURS COMMUN 2000 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières) ANALYSE Partie I : Etude de la réciproque de la fonction tanh. 1.- On sait que tanh est dérivable sur R et que, pour tout réel x : (tanh) ′ (x) = sinh cosh ′ (x) = sinh ′ (x)cosh(x) − sinh(x)cosh ′ (x) cosh2 x − sinh2 x 1 = = > 0. 2 2 cosh (x) cosh x cosh2 x Donc, tanh est dérivable et strictement croissante sur R. Par suite, tanh établit une bijection de R sur tanh(R). Or, tanh(R)

affirmations suivantes. Justifier vos affirmations. Toute réponse non ou mal justifiée ne rapportera pas de points. A. Soit f la la fonction définie sur IR par : f(x) = (x - 1)e2x, alors : a. [pic]= x e2x b. f(x) = −( c. L’équation f(x) = 1 admet dans IR une solution unique. B. Si x ≥ −2 alors ex ≥ . C. Les courbes représentatives des fonctions x ( 2ex/2 – 1 et x ( ex ont la même tangente au point A(0 ; 1) D. Pour tous réels a et b, ea+b = Pour tous réels a et b

ii BTS IRIS Lycée Langevin-Wallon, académie de Créteil TABLE DES MATIÈRES iii Table des matières 1 Nombres complexes 1.1 L’ensemble C des nombres complexes . . . . . . . 1.1.1 Définition et règles de calcul dans C . . . . 1.1.2 La fonction arc tangente . . . . . . . . . . 1.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Équations de type z 2 = α . . . . . . . . . 1.2.2 Équations de type az 2 + bz + c = 0, a = 0 2 Calcul matriciel 2.1 Matrice à coefficients dans K . . .

FORMULAIRE DE TRIGONOMÉTRIE (à réécrire en 5mn31 ) à 1/ a/Valeurs des fonctions trigonométriques usuelles en: 0,  6 ,  4 ,  3 ,  2 b/Effet sur ces mêmes fonctions des transformations (dessin): x 2/ x, x  x, x   x, x  2 x, x  2 x cos 2 x  sin 2 x  1 cos a  b  cos a cos b sin a sin b ...sin a  b  sin a cos b  cos a sin b cos a b  cos a cos b  sin a sin b. . . sin a b  sin a cos b cos a sin b tan a tan a  b  1tan atan bb et

[cos(p-q) - cos(p+q)] sin(p).cos(q) = .[sin(p+q) + sin(p-q)] II. Inversion des fonctions circulaires * Arccos x R,  = Arccos(-x) + Arccos(x) x [-1,1] , sin(Arccos(x)) = (Arccos)'(x) = * Arcsin x [-1,1], cos(Arcsin(x)) = = Arccos(x) + Arcsin(x) (Arcsin)'(x) = * Arctan x 0, Arctan(x) + Arctan() = (signe(x)). cos(Arctan(x)) = sin(Arctan(x)) = (Arctan)'(x) = III. Fonctions hyperboliques * Directes - Généralités ch(x) = sh(x) = th(x) = ch(-x) = ch(x) sh(-x)

------------------------------------------------- Le logarithme naturel ou logarithme népérien : Le logarithme naturel ou logarithme népérien est, en mathématiques, le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse définie sur et qui s'annule en 1. Le logarithme naturel de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour trouver x. Historique Ce logarithme est appelé logarithme népérien en hommage au mathématicien

de Tonton Paul I. Limites, continuité, dérivabilité A) Continuité et limites 1°/ Définitions Définition 1 : Soient f une fonction définie sur I à valeurs dans ℜ et a un point de l’intervalle I ; On dira que f est continue en a si et seulement si : pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que x - a ≤ η implique f ( x ) − f (a ) ≤ ε Toutes les fonctions usuelles, sauf la fonction partie entière sont continues là où elles sont définies. lq Définition 2 : Soit I un intervalle, a un élément de I ; on

coordonn´es e e de X dans la base canonique C ? Utiliser ensuite la question pr´c´dente. e e 4. (a) Sans faire de calcul mais en utilisant uniquement leur d´finition, exprimer f (u1 ), f (u2 ), f (u3 ) en e fonction de u1 , u2 , u3 . (b) Pour tout k ∈ N∗ , exprimer f k (u1 ), f k (u2 ), f k (u3 ) en fonction de k et de u1 , u2 , u3 . 5. Soit k ∈ N∗ un entier fix´.   e x     Pour tout X = y , en utilisant les r´sultats de la question 3.(d) , exprimer f k (X) dans la base B e       z (c’est-`-dire

primitives des 24 fonctions trigonométriques Introduction  Cet article expose les fonctions trigonométriques circulaires, hyperboliques, directes et réciproques (24 fonctions au total), avec l'ensemble de définition, la dérivée et la primitive de chacune d'entres elles. Sommaire de cette page    Les relations de base entre les fonctions trigonométriques    Les 6 fonctions trigonométriques circulaires directes : Ensemble de définition Dérivée et primitive    Les 6 fonctions trigonométriques circulaires

; h(0) = 1, lim(( ch = +(, lim+( ch = +(. 6. Pour tout x appartenant à R, ch(x) ( sh(x) = e(x > 0, donc ch(x) > sh(x) 7. Les fonctions ch et sh que nous venons d'étudier sont les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique. Leurs représentations graphiques traînent un petit peu partout. Par exemple, on appelle chaînette la représentation graphique de la fonction ch, pour une raison que je vous laisse deviner (pas parce ch comme chaînette...). Et pourquoi cette appellation baroque ? Calculez